次の各問に答えよ．

(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．

$2$個以上の正の整数を要素とする有限集合を$A$とする．

$A$のどの$2$数も一方が他方を割り切るとき$A$は良い集合であるといい，$A$のどの$2$数も互いに他を割り切らないとき$A$は悪い集合であるという．
また，$A$の良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は良い集合} \right\} \]
を$A$の最良数と定義し，$A$の悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は悪い集合} \right\} \]
を$A$の最悪数と定義する．
たとえば，$A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 14,\ 15,\ 77,\ 154,\ 225,\ 231,\ 308 \}$のとき，$A$の良い部分集合は$\{7,\ 77,\ 231\}$，$\{7,\ 14,\ 154,\ 308 \}$，$\{11,\ 77,\ 154,\ 308 \}$などであり，$A$の最良数は$4$である．また，$A$の悪い部分集合は$\{231,\ 308 \}$，$\{14,\ 15,\ 77 \}$，$\{2,\ 7,\ 11,\ 15 \}$，$\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11 \}$などであり，$A$の最悪数は$5$である．
$k$を$2$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$n(A)=k^2$で，かつ最良数も最悪数も$k$である集合$A$が存在することを証明せよ．
(2)$n(A) \geqq k^2+1$ならば，$A$の最良数または$A$の最悪数のどちらかは$k+1$以上であることを証明せよ．
(3)要素数が$2014$で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち，
\[ n(A)=2014 \quad \text{かつ} \quad (A \text{の最良数})=(A \text{の最悪数}) \]
を満たす集合$A$を考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．

$a,\ b$は$1$と異なる正の実数で，$ab \neq 1$，$\displaystyle \frac{a}{b} \neq 1$を満たすものとする．
\[ \text{不等式} \quad \log_{ab}a<\log_{\frac{a}{b}} ab \quad \cdots\cdots① \]
について，以下の問いに答えなさい．

(1)$X=\log_a b$とおくとき，$①$を$X$についての不等式で表すと，
\[ \frac{[$1$]}{(1+X)(1-X)}<0 \]
となる．$[$1$]$にあてはまる適切な式を求めなさい．
(2)不等式$①$を満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を，座標平面上に図示しなさい．

次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし，曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える．接点の$x$座標を$\alpha$とすると，接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$，接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから，接線の方程式は，
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される．この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす．この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し，傾きが正である接線の方程式は，
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される．
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は，両者が$x=\alpha$で接しているので，
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける．これを用いると，曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は，
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である．$p$を変化させるとき，$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．

$0<x \leqq 2\pi$において定義された関数$\displaystyle h(x)=\frac{\sin x}{x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$h(x)$の最小値を与える$x$がただ一つ存在することを示せ．
(2)$h(x)$の最小値を与える$x$の値を$b$とおく．次の定積分を求めよ．
\[ \int_\pi^b x^2h(x) \, dx \]
(3)$b$は$\displaystyle \frac{17}{12} \pi<b<\frac{3}{2} \pi$をみたすことを示せ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A$の逆行列は存在しないとする．$2$次正方行列$X$は$XAX=X$かつ$AX=XA$かつ$A^3X=A^2$を満たすとする．$A^2 \neq \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$2$次正方行列$Y$が$YAY=Y$かつ$AY=YA$かつ$A^3Y=A^2$を満たすとき，$Y=X$であることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$のとき，$X$を求めよ．

定数$a$を正の実数とする．$2$つの放物線$C_1:y=2x^2+1$，$C_2:y=-\sqrt{2}(x+a)^2+1$がある．$C_1$，$C_2$の両方に接する直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$上の任意の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1$，$C_2$の共通接線がちょうど$2$本存在することを示せ．
(3)$C_1$，$C_2$の$2$本の共通接線と$C_1$とで囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．