$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とおく．$x$を実数とし，行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
3x-1 & 2x-1 \\
-3x+2 & -2x+2
\end{array} \right) \]
を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc}
P_n(x) & Q_n(x) \\
R_n(x) & S_n(x)
\end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2)$a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とおく．$x$を実数とし，行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
3x-1 & 2x-1 \\
-3x+2 & -2x+2
\end{array} \right) \]
を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc}
P_n(x) & Q_n(x) \\
R_n(x) & S_n(x)
\end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2)$a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．

自然数$l,\ m,\ n$に対し，
\[ f(l,\ m,\ n)=\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \]
とする．

(1)$l+m+n=10$のとき，$f(l,\ m,\ n)$の値の最小値と最大値を求めよ．
(2)方程式$f(l,\ m,\ n)=a$の解となる自然数$l,\ m,\ n$の組で$l \leqq m \leqq n$を満たすものが$2$つ以上存在するような$a$の例を挙げ，そのような自然数の組を$2$つ求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{11}{12}<f(l,\ m,\ n)<1$を満たす自然数$l,\ m,\ n$の組で$l \leqq m \leqq n$を満たすものをすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$x$についての方程式${2}^x+{2}^{-x}=t$の実数解の個数を調べよ．
(2)$a$と$b$を実数とし，$x$についての方程式${4}^x+{4}^{-x}+a({2}^x+{2}^{-x})+b=0$が，ちょうど$3$個の実数解をもつとする．このとき，点$(a,\ b)$の存在する範囲を図示せよ．

次の条件を満たす$2$次正方行列$A,\ B$がある．
\[ A^2=E,\quad B^2=-E,\quad AB+BA=O \]
ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) (A+B+AB)^2=E \qquad (ⅱ) A+B \neq O \qquad (ⅲ) AB \neq E \]
(2)$(A+B)C=O$となる零行列でない$2$次正方行列$C$が存在することを示せ．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．

$1$辺の長さが$1$である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[$1$][$2$]}{[$3$]}$，$\displaystyle (2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})=\frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s \overrightarrow{a}+(3-3s) \overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は
\[ \frac{[$7$]}{[$8$]}<s<\frac{[$9$]}{[$10$]} \]
である．
(3)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は
\[ [$11$][$12$] \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q}+[$13$][$14$] \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q}+2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}=0 \]
をみたす．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．

点$\mathrm{A}(0,\ -1)$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と$x$軸との共有点を$\mathrm{M}(m,\ 0)$とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{P}$の対応点と呼ぶことにする．

(1)$m$を$a$で表すと$m=[$1$]$である．
(2)$m$の値のとり得る範囲は$[$2$]$である．
(3)$a \neq [$3$]$のとき，$\mathrm{P}(a,\ a^2)$と同じ対応点をもつ$\mathrm{P}$と異なる放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{Q}$が存在し，$\mathrm{Q}$の座標は$[$4$]$である．

行列$A,\ E,\ O$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
で定め，行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．また，行列$A-E$の逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする．$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし，$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ．