タグ「始点」の検索結果

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上智大学 私立 上智大学 2015年 第2問
座標平面上で$2$つのベクトル
\[ \overrightarrow{p}=(p,\ 0),\quad \overrightarrow{q}=(q,\ 0) \]
を考える.ただし,$0<p<1$,$q>1$とする.$\overrightarrow{x}$を単位ベクトルとして,以下の問に答えよ.

(1)任意の$\overrightarrow{x}$について,$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ.
(2)$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき,$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする.
条件:任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる.

(i) $p$および$q$の値を求めよ.
(ii) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき,原点を始点として$\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{q}$を図示せよ.
(iii) 実数$a$に対して,
\[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \]
とおく.任意の$\overrightarrow{x}$について,$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ.
学習院大学 私立 学習院大学 2014年 第3問
座標平面上に,始点が原点で終点の$y$座標が$1$に等しい$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$がある.$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とするとき,等式
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ.
愛知県立大学 公立 愛知県立大学 2013年 第2問
座標平面上で,原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする.原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し,$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ.
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする.点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ.
(3)(2)において,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ.
(4)(2)において,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする.面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点$\mathrm{O}$を始点とする$3$つの相異なる半直線とする.$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし,$\ell_2$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする.$\mathrm{O}$とは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の$3$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする.$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし,$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする.$x,\ y$を正数とし,$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$,P$_2$,P$_3$をそれぞれ,$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる.$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする.$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし,$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする.Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$,P$_2$,P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2010年 第1問
三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a = \mathrm{BC},\ b = \mathrm{CA},\ c = \mathrm{AB}$とする.実数$t \geqq 0$を与えたとき,$\mathrm{A}$を始点とし$\mathrm{B}$を通る半直線上に$\mathrm{AP} = tc$となるように点$\mathrm{P}$をとる.次の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき,$t$を求めよ.
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき,$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2010年 第1問
三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a = \mathrm{BC},\ b = \mathrm{CA},\ c = \mathrm{AB}$とする.実数$t \geqq 0$を与えたとき,$\mathrm{A}$を始点とし$\mathrm{B}$を通る半直線上に$\mathrm{AP} = tc$となるように点$\mathrm{P}$をとる.次の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき,$t$を求めよ.
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき,$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2010年 第2問
平面上に4点O,A,B,Cがあり,点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とし,
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ.
(3)実数$s,\ t$に対して,点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める.$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき,$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2010年 第2問
座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$C$とする.$\mathrm{O}$を始点とする半直線上の二点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$について$\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}=4$が成立するとき,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は$C$に関して対称であるという(下の図では,$\mathrm{P}$は$C$の内側に取ってある).以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$C$に関して対称な点$\mathrm{Q}$の座標を$x,\ y$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点を除いた曲線
\[ (x-2)^2+(y-3)^2=13,\quad (x,\ y) \neq (0,\ 0) \]
上を動くとき,$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ.
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