$n$枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．

はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．

戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$2$次方程式$x^2+mx+m+99=0$が重解を持つときの$m$の値は$m=[$1$]$または$m=-[$2$]$である．また，$m=[$1$]$のときの重解は$x=-[$3$]$である．
(2)$3x^2+17xy-x+10y^2-31y-14$を因数分解すると
\[ (x+[$4$]y+[$5$])([$6$]x+[$7$]y-[$8$]) \]
となる．
(3)$100$人に野球とサッカーについて尋ねたところ，野球が好きな人は$67$人，サッカーが好きな人は$42$人，野球とサッカーの両方が好きな人は$28$人であった．このとき，野球もサッカーも好きでない人は$[$9$]$人，野球だけが好きな人は$[$10$]$人である．