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奈良女子大学 国立 奈良女子大学 2015年 第3問
$a,\ b$を正の実数とする.$f(x)=x(x+a)(x-b)$とする.区間$-a \leqq x \leqq 0$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし,区間$0 \leqq x \leqq b$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする.次の問いに答えよ.

(1)$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ.
(2)$S_1=S_2$のとき,$a=b$となることを示せ.
(3)$S_1=S_2$のとき,$f(x)$は奇関数となることを示せ.また,$f(x)$が奇関数のとき,$S_1=S_2$となることを示せ.ただし,$f(x)$が奇関数であるとは,どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである.
北里大学 私立 北里大学 2015年 第3問
実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする.さらに,$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし,$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする.$y=f(x)$のグラフを$C_1$,$C_1$を$x$軸方向に$a$,$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする.ただし,$a$は正の定数とする.

(1)$f(0)$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ.
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し,その$2$点の$x$座標を求めよ.
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする.$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき,$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ.
山梨大学 国立 山梨大学 2013年 第4問
関数$f(x)$を次のとおりに定める.
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ.
(2)$\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$,$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする.このとき,$F(0)$を求めよ.
(3)関数$y=F(x)$の増減を調べ,グラフの概形をかけ.
(4)関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ.
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「奇関数」とは・・・

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