$a,\ b$を正の実数とする．$f(x)=x(x+a)(x-b)$とする．区間$-a \leqq x \leqq 0$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，区間$0 \leqq x \leqq b$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$のとき，$a=b$となることを示せ．
(3)$S_1=S_2$のとき，$f(x)$は奇関数となることを示せ．また，$f(x)$が奇関数のとき，$S_1=S_2$となることを示せ．ただし，$f(x)$が奇関数であるとは，どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである．

実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする．さらに，$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし，$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする．$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$C_1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し，その$2$点の$x$座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき，$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．

関数$f(x)$を次のとおりに定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$，$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする．このとき，$F(0)$を求めよ．
(3)関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4)関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ．