「奇数」について
タグ「奇数」の検索結果
(9ページ目:全170問中81問~90問を表示)![奈良女子大学](./img/univ/narajoshi.png)
$a,\ d$を正の整数とする.$x_1=a,\ x_2=a+d,\ x_3=a+2d,\ x_4=a+3d$とおく.$x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$がすべて素数であるとき,次の問いに答えよ.
(1)$a$は奇数であることを示せ.また,$d$は偶数であることを示せ.
(2)$d$は$3$の倍数であることを示せ.
(3)$x_3=67$であるとき,$a,\ d$の値を求めよ.
(1)$a$は奇数であることを示せ.また,$d$は偶数であることを示せ.
(2)$d$は$3$の倍数であることを示せ.
(3)$x_3=67$であるとき,$a,\ d$の値を求めよ.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
数直線上の動点$\mathrm{P}$はさいころを投げて偶数が出れば$+1$,奇数が出れば$-1$移動する.$\mathrm{P}$の最初の位置(座標)を$\mathrm{P}_0=0$とし,さいころを$k$回投げたときの$\mathrm{P}$の位置(座標)を順に$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_k$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)さいころを$4$回投げたとき,$\mathrm{P}_4=2$となる確率を求めよ.
(2)さいころを$8$回投げたとき,$\mathrm{P}_8=n$となる確率を$n$を用いて表せ.ただし,$n$は$-8 \leqq n \leqq 8$をみたす整数である.
(3)さいころを$4$回投げたとき,$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3+\mathrm{P}_4$が$0$以上となる確率を求めよ.
(4)さいころを$3$回投げたとき,$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3$の期待値を求めよ.
(1)さいころを$4$回投げたとき,$\mathrm{P}_4=2$となる確率を求めよ.
(2)さいころを$8$回投げたとき,$\mathrm{P}_8=n$となる確率を$n$を用いて表せ.ただし,$n$は$-8 \leqq n \leqq 8$をみたす整数である.
(3)さいころを$4$回投げたとき,$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3+\mathrm{P}_4$が$0$以上となる確率を求めよ.
(4)さいころを$3$回投げたとき,$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3$の期待値を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$3$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$が
\[ \begin{array}{lll}
a_{n+1}=-b_n-c_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=-c_n-a_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
c_{n+1}=-a_n-b_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]
および$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c$を満たすとする.ただし,$a,\ b,\ c$は定数とする.
(1)$p_n=a_n+b_n+c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ.
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項を求めよ.
(3)$q_n=(-1)^n \{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする.$a+b+c$が奇数であれば,すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ.
\[ \begin{array}{lll}
a_{n+1}=-b_n-c_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=-c_n-a_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
c_{n+1}=-a_n-b_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]
および$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c$を満たすとする.ただし,$a,\ b,\ c$は定数とする.
(1)$p_n=a_n+b_n+c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ.
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項を求めよ.
(3)$q_n=(-1)^n \{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする.$a+b+c$が奇数であれば,すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ.
![お茶の水女子大学](./img/univ/ocha.png)
数列$\{a_n\}$を次のように定める.
\[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ.
(2)$a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ.
さらに,数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\
1 & a_n \ \text{が奇数のとき}
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.また,自然数$k$に対して,条件
\[ p_k \ \text{:すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \]
を考える.以下の問いに答えよ.
(3)条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ.
(4)$p,\ q,\ r$を整数とし,数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え,数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える.$p,\ q,\ r$をどのように選んでも,条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ.
\[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ.
(2)$a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ.
さらに,数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\
1 & a_n \ \text{が奇数のとき}
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.また,自然数$k$に対して,条件
\[ p_k \ \text{:すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \]
を考える.以下の問いに答えよ.
(3)条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ.
(4)$p,\ q,\ r$を整数とし,数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え,数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える.$p,\ q,\ r$をどのように選んでも,条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ.
![岐阜大学](./img/univ/gihu.png)
$1$から$9$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$9$枚のカードがある.そのうち$8$枚のカードを$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の$4$人に$2$枚ずつ分ける.以下の問に答えよ.
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか.
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ.
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ.ただし,$2$枚のカードに書かれた数の差とは,大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である.
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか.
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ.
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ.ただし,$2$枚のカードに書かれた数の差とは,大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である.
![北海学園大学](./img/univ/hokkaigakuen.png)
数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は,$1$から$2n-1$までの異なる$n$個の奇数を並べかえたものである.また,数列$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$は,$2$から$2n$までの異なる$n$個の偶数を並べかえたものである.$S_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$n$は$3$以上の整数とする.
(1)$n=3$であり,$b_1=4$,$b_2=6$,$b_3=2$のとき,$S_3$を最大にする$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 2ka_k+\sum_{k=1}^n \frac{(a_k-2k+1)^2}{2}$を$n$を用いて表せ.
(3)$b_k=2k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$とする.$S_n$を最大にする$a_k$を$k$を用いて表せ.
(1)$n=3$であり,$b_1=4$,$b_2=6$,$b_3=2$のとき,$S_3$を最大にする$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 2ka_k+\sum_{k=1}^n \frac{(a_k-2k+1)^2}{2}$を$n$を用いて表せ.
(3)$b_k=2k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$とする.$S_n$を最大にする$a_k$を$k$を用いて表せ.
![東京慈恵会医科大学](./img/univ/jikei.png)
次の$[ ]$にあてはまる適切な数値を記入せよ.
(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある.$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし,試行$\mathrm{T}$の結果によって,$\mathrm{P}$は次の規則で動く.
(規則)$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し,奇数ならば$+1$だけ移動する.
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると,$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり,$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である.また,$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき,試行回数の期待値は$[ウ]$である.
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている.このとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である.また,実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$,$s \geqq 0$,$t \geqq 0$をみたしながら動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である.
(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある.$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし,試行$\mathrm{T}$の結果によって,$\mathrm{P}$は次の規則で動く.
(規則)$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し,奇数ならば$+1$だけ移動する.
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると,$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり,$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である.また,$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき,試行回数の期待値は$[ウ]$である.
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている.このとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である.また,実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$,$s \geqq 0$,$t \geqq 0$をみたしながら動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
次の条件を満たしている正の整数$a,\ b$,正の奇数$c$の組$(a,\ b,\ c)$を考える.
\[ 2^a=(4b-c)(b+c) \]
次の設問に答えよ.
(1)$b=13$のとき,$a,\ c$の値を求めよ.
(2)$a \leqq 2013$である組$(a,\ b,\ c)$の個数を求めよ.
\[ 2^a=(4b-c)(b+c) \]
次の設問に答えよ.
(1)$b=13$のとき,$a,\ c$の値を求めよ.
(2)$a \leqq 2013$である組$(a,\ b,\ c)$の個数を求めよ.
![安田女子大学](./img/univ/yasuda.png)
$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロを投げ,出た目の数が偶数のとき定数$a_1$の値を$1$,奇数のとき$-1$と決める.定数$b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$の値についてもそれぞれ同じ方法で$1$または$-1$に決める.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ.
(2)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもたないとき,$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ.
(3)$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ.
(1)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ.
(2)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもたないとき,$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ.
(3)$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ.
![大同大学](./img/univ/daido.png)
次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.ただし,根号内の平方因数は根号外にくくり出し,分数は既約分数で表すこと.
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると,$b=-[ ] a-[][]$である.さらに,$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[ ]$,$b=-[][]$であり,$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [ ] \sqrt{[ ]}$である.
(2)$2a^2-ab-15b^2=([ ] a+[ ] b)(a-[ ] b)$である.$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$,$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき,$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[ ]}$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{BC}=6$,$\mathrm{CA}=3$とするとき,$\displaystyle \cos A=-\frac{[ ]}{[][]}$であり,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[][]}$である.さらに,$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると,$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[ ] \sqrt{[][]}}{[ ]}$である.
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき,$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり,$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある.また,$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり,$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある.
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると,$b=-[ ] a-[][]$である.さらに,$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[ ]$,$b=-[][]$であり,$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [ ] \sqrt{[ ]}$である.
(2)$2a^2-ab-15b^2=([ ] a+[ ] b)(a-[ ] b)$である.$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$,$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき,$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[ ]}$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{BC}=6$,$\mathrm{CA}=3$とするとき,$\displaystyle \cos A=-\frac{[ ]}{[][]}$であり,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[][]}$である.さらに,$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると,$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[ ] \sqrt{[][]}}{[ ]}$である.
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき,$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり,$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある.また,$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり,$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある.