次の$[あ]$～$[お]$に当てはまるものを，下の選択肢から選べ．

(1)$\displaystyle x=-\frac{2}{3}$は$3x^2-13x-10=0$であるための$[あ]$
(2)$n$を自然数とする．$n^2$が$5$の倍数であることは，$n$が$5$の倍数であるための$[い]$
(3)$a,\ b$を自然数とする．$(a+b)^2$が奇数であることは，$ab$が偶数であるための$[う]$
(4)平面上の異なる$2$つの円$C$，$C^\prime$の半径をそれぞれ$r$，$r^\prime$とし，中心間の距離を$d$とする．ただし，$r<r^\prime$とする．このとき，$C$と$C^\prime$が共有点をもたないことは，$d>r+r^\prime$であるための$[え]$
(5)$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{F}$に対して，$\mathrm{AF}=3$であることは，$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が一直線上にあるための$[お]$
選択肢：

\mon[$①$] 必要条件であるが十分条件ではない．
\mon[$②$] 十分条件であるが必要条件ではない．
\mon[$③$] 必要十分条件である．
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない．

$(1)$～$(5)$の空欄にあてはまる言葉を，次の$1$～$4$から選べ．

\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．


(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$

$5$で割ったときの余りが$2$または$3$である$1000$以下の正の奇数を小さい順に並べたものを$a_1,\ \cdots,\ a_N$とする．例えば，$a_1=3$，$a_2=7$，$a_3=13$である．以下の問いに答えなさい．

(1)$N$を求めなさい．
(2)$a_1+\cdots +a_N$を求めなさい．

$6$個のさいころを同時に投げるとする．以下の問いに答えよ．

(1)出る目がすべて異なる確率を求めよ．
(2)出る目のうち，奇数の目が$3$個となる確率を求めよ．
(3)出る目の和が$9$となる確率を求めよ．

さいころを$2$回続けて投げる．出た目の数の積を$A$とし，$B=\sqrt{A}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げるごとに，出た目によって，点$\mathrm{P}$が座標平面上を，次の規則に従って動くものとする．

最初は原点にあり，偶数が出た場合は$x$軸の正の方向に出た目の数だけ進み，奇数が出た場合は$y$軸の正の方向に出た目の数だけ進む．

点$\mathrm{P}$の到達点の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)サイコロを$3$回投げたとき，$x_0=0$かつ$y_0=9$となる確率を求めよ．
(2)サイコロを$n$回投げたとき，$x_0=2n+2$かつ$y_0=0$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$\displaystyle \frac{x_0}{2}<y_0<-\frac{{x_0}^3}{4}+8$の表す領域に存在する確率を求めよ．
(4)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が${x_0}^2+{y_0}^2-8x_0-2y_0+13>0$の表す領域に存在する確率を求めよ．

$N$を$2$以上の自然数とし，$a_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を次の性質$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす数列とする．

(i) $a_1=2^N-3$
(ii) $n=1,\ 2,\ \cdots$に対して，

$a_n$が偶数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$，$a_n$が奇数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$．

このときどのような自然数$M$に対しても
\[ \sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1}-N-5 \]
が成り立つことを示せ．

$n$を$3$以上の奇数として，次の集合を考える．
\[ A_n=\left\{ \; _n \mathrm{C}_1,\ _n \mathrm{C}_2,\ \cdots,\ _n \mathrm{C}_{\frac{n-1}{2}} \; \right\} \]
以下の問いに答えよ．

(1)$A_9$のすべての要素を求め，それらの和を求めよ．
(2)$\displaystyle _n \mathrm{C}_{\frac{n-1}{2}}$が$A_n$内の最大の数であることを示せ．
(3)$A_n$内の奇数の個数を$m$とする．$m$は奇数であることを示せ．

$3$個のサイコロを同時に投げるとき，以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)$3$個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2)$3$個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5)$3$個のサイコロの目の積または和が$3$の倍数となる確率を求めよ．

「$n \leqq \sqrt{11}<n+1$が成り立つような整数$n$を見つけよ．」という問題に対して以下の答案があった．この答案の趣旨を詳しく説明せよ．

[答案]
まず，${\sqrt{11}}^2=11$から奇数を小さい順に引いていく．つまり，
\[ 11-1=10,\quad 10-3=7,\quad 7-5=2 \]
となり，これ以上引くと負の数になるからここで計算を止める．結局，奇数を$3$回引いたので，$n=3$となる．