$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

下の表のように奇数が並んでいる．上から$m$行，左から$n$列にある数を$a_{m,n}$と表す．例えば$a_{2,3}=15$である．このとき，次の問いに答えよ．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c}
\hline
$1$ & $3$ & $7$ & $13$ & $21$ \\ \hline
$5$ & $9$ & $15$ & $23$ & $\cdots$ \\ \hline
$11$ & $17$ & $25$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\ \hline
$19$ & $27$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\ \hline
$29$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\
\end{tabular}


(1)$a_{1,n}$を$n$を用いて表せ．
(2)上の表の$a_{1,n}$と$a_{n,1}$を結ぶ直線上にあるすべての数の集合を第$n$群と呼ぶ．例えば第$3$群は$\{7,\ 9,\ 11\}$である．このとき，第$n$群に含まれるすべての数の和を$n$を用いて表せ．
(3)$251$は$(2)$で定めた第何群にあるか．また，$a_{m,n}=251$とするとき，$m$と$n$を求めよ．

$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．

(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

自然数$n$に関する次の条件$p,\ q$を考える．

$p:n^2+3$は偶数である．
$q:n$は奇数である．


(1)命題「$p \Longrightarrow q$」の逆，対偶および裏を述べよ．
(2)命題「$p \Longrightarrow q$」を証明せよ．