次の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．

(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．

$1$個のさいころをくり返し投げ，$3$の倍数の目が出る回数を数える．いま，さいころを$n$回投げるとき，$3$の倍数の目が奇数回出る確率を$P_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$P_2$および$P_3$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$で表せ．
(3)$P_n$を$n$の式で表せ．

$1$から$7$までの番号を$1$つずつ書いた$7$枚のカードが袋の中に入っている．無作為に同時に$3$枚のカードを取り出し，その番号を$x,\ y,\ z$（ただし$x<y<z$）とおく．

(1)$3$つの番号の積$xyz$が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$3$つの番号の積$xyz$が奇数になる確率を求めよ．
(3)$x=3$となる確率を求めよ．
(4)$z \geqq 5$となる確率を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

$A$を与えられた自然数として，
\[ a_1=3A,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n-2 & (n \text{が奇数のとき}) \\
a_n-1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．

(1)$a_5,\ a_6$を$A$を用いて表すと，$a_5=[チ]$，$a_6=[ツ]$である．また一般に，$a_n$を$n$と$A$を用いて表すと，
\[ a_n=\left\{ \begin{array}{ll}
[テ] & (n \text{が奇数のとき}) \\
[ト] & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
となる．
(2)$a_n>0$となる最大の自然数$n$を$N$とする．$N$を$A$を用いて表すと$N=[ナ]$であり，また$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n=[ニ]$である．

次の条件を満たす数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2} \{3+(-1)^n\}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)奇数番目の項のみからなる数列を$\{b_n\}$，偶数番目の項のみからなる数列を$\{c_n\}$とする．つまり，$b_n=a_{2n-1}$，$c_n=a_{2n}$とする．$b_{n+1}$，$c_n$，$b_n$が次の関係式を満たすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D$の値をそれぞれ求めよ．
\[ \begin{array}{r}
b_{n+1}=Ac_n+B \\
\phantom{\frac{[　]}{2}} c_n=Cb_n+D
\end{array} \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
(2)$(1)$において$c_n$を消去し，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$2k$項までの和$S_{2k}$を$k$を用いて表せ．

$N$を$2$以上の整数とする．整数$a,\ b$に対し，演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．

(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．

(ii) $N \geqq 4$とする．

$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，

$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．


(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，

$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．


(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．

$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．

赤いカードと青いカードが$10$枚ずつあり，それぞれ$0$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$20$枚から数枚を選ぶときの選び方に関する次の条件$P$を考える．

$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．

(1)$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
(2)$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
選択肢：
\mon[$\mathrm{A}$] 選んだカードのうち，青いカードに書かれた数字はすべて奇数である．
\mon[$\mathrm{B}$] 選んだカードのうち，奇数が書かれたカードはすべて青い．
\mon[$\mathrm{C}$] 選んだカードのうち，偶数が書かれたカードはすべて赤い．
\mon[$\mathrm{D}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{E}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{F}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードは存在しない．
\mon[$\mathrm{G}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードは存在しない．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，

$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，

$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．

(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．

$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．


(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．

すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$

(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$

$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$

$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$

$3$種類の記号$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．このような記号列のなかで，$a$がちょうど偶数個含まれるようなものの総数を$g(n)$とする．ただし，$0$個の場合も偶数個とみなす．たとえば，$g(1)=2$，$g(2)=5$である．

(1)自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．
(2)$g(n)$を求めよ．
(3)一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m \geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n \geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
右図のような盤上の$\mathrm{A}$にコマを置き，線に沿って一区間ずつコマを進めるゲームをする．コマを進める方向は，サイコロを投げ，偶数の目が出たら左，奇数の目が出たら上に進める．ただし，左斜め上に進む線があるときは，サイコロの目が$5$か$6$のときに限り，この線に沿って移動し，$4$以下のときは，他の点における規則と同様とする．進めないときはそのまま留まり，逆戻りはできない．

(1)$4$回サイコロを投げたとき，$\mathrm{B}$に到達する確率はいくらか．
(2)$5$回目でちょうど$\mathrm{C}$に到達する確率はいくらか．
(3)$6$回目でちょうど$\mathrm{C}$に到達する確率はいくらか．

\end{mawarikomi}