次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

$3$けたの整数のうち，百の位，十の位，一の位の数のいずれかが偶数のものは何個あるか．また，同様にいずれかの位の数が奇数のものは何個あるか．

$3$けたの整数のうち，百の位，十の位，一の位の数のいずれかが偶数のものは何個あるか．また，同様にいずれかの位の数が奇数のものは何個あるか．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$が$n=p^2q$（$p,\ q$は素数，$p \neq q$）の形で表されるとき，$n$の正の約数は$6$個あり，それらの和は
\[ ([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
と表すことができる．このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める．正の約数の和が$2n$であるから，
\[ 2p^2q=([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
が成り立つ．$[ク]+p+p^2$は奇数であり，$p$の倍数ではないから，$[ケ]+q$は$2p^2$の倍数となり，
\[ [ケ]+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \]
とおける．したがって，
\[ q=([ク]+p+p^2)k \]
となるが，$q$は素数であるから，$k=[コ]$である．よって
\[ p^2-p-[サ]=0 \]
これを解いて，$p=[シ]$である．ゆえに$n=[ス]$である．
(2)条件
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められる数列$\{a_n\}$に対して，$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，これより，数列$\{a_n\}$の一般項は
\[ a_n=\frac{[セ] \cdot [ソ]^n+[タ]}{[チ]^n-[ツ]} \]
となる．

$p$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^{2p}+\left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right)^{2p}$の値を求めよ．ただし，$i^2=-1$である．

$2$つのサイコロを振り，出た目の和が$n$であるとき，$n$の「奇数部分」を得点とする．ただし，自然数$n$の「奇数部分」とは
\[ n=2^km \quad (k \text{は} 0 \text{以上の整数，} m \text{は奇数}) \]
と表したときの$m$のこととする．たとえば
\[ 4=2^2 \times 1,\quad 5=2^0 \times 5,\quad 6=2^1 \times 3 \]
であるので，$4,\ 5,\ 6$の「奇数部分」はそれぞれ$1,\ 5,\ 3$である．

(1)得点が$9$である確率を求めよ．
(2)得点が$1$である確率を求めよ．
(3)得点の期待値を求めよ．

自然数$a,\ b$に関する命題，

(i) $a,\ b$が両方とも奇数ならば$ab$は奇数である．
(ii) $ab$が奇数ならば$a^2+b^2$は偶数である．
(iii) $3a+2b$が奇数ならば，$a,\ b$は両方とも奇数である．

について，次の問に答えよ．

(1)これらの命題のうち，真であるものは$[　]$．
(2)これらの命題のうち，逆が真であるものは$[　]$．

正整数$a$と正の奇数$p,\ q$が
\[ 2^a+p^2=q^4 \]
を満たしているとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$q^2-p=2$を証明せよ．
(2)$q$を全て求めよ．

関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．

$1$個のさいころを$n$回続けて投げるとき，$1$の目が奇数回出る確率$p_n$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数である．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=\frac{1}{2}$を示せ．