「奇数」について
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(17ページ目:全170問中161問~170問を表示)![金沢工業大学](./img/univ/kanazawakougyou.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である.
(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である.
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$,$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である.
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり,$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である.
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である.
(6)$1$から$100$までの整数のうち,$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり,$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある.
(7)$1$個のさいころを投げて,偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし,奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う.このとき,このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である.
(8)図のように,直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している.また,$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする.このとき,
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である.
(図は省略)
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である.
(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である.
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$,$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である.
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり,$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である.
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である.
(6)$1$から$100$までの整数のうち,$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり,$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある.
(7)$1$個のさいころを投げて,偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし,奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う.このとき,このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である.
(8)図のように,直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している.また,$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする.このとき,
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である.
(図は省略)
![倉敷芸術科学大学](./img/univ/geikadai.png)
$3$けたの整数のうち,百の位,十の位,一の位の数のいずれかが偶数のものは何個あるか.また,同様にいずれかの位の数が奇数のものは何個あるか.
![倉敷芸術科学大学](./img/univ/geikadai.png)
$3$けたの整数のうち,百の位,十の位,一の位の数のいずれかが偶数のものは何個あるか.また,同様にいずれかの位の数が奇数のものは何個あるか.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
次の問いに答えよ.
(1)自然数$n$が$n=p^2q$($p,\ q$は素数,$p \neq q$)の形で表されるとき,$n$の正の約数は$6$個あり,それらの和は
\[ ([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
と表すことができる.このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める.正の約数の和が$2n$であるから,
\[ 2p^2q=([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
が成り立つ.$[ク]+p+p^2$は奇数であり,$p$の倍数ではないから,$[ケ]+q$は$2p^2$の倍数となり,
\[ [ケ]+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \]
とおける.したがって,
\[ q=([ク]+p+p^2)k \]
となるが,$q$は素数であるから,$k=[コ]$である.よって
\[ p^2-p-[サ]=0 \]
これを解いて,$p=[シ]$である.ゆえに$n=[ス]$である.
(2)条件
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められる数列$\{a_n\}$に対して,$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと,数列$\{b_n\}$は等比数列となり,これより,数列$\{a_n\}$の一般項は
\[ a_n=\frac{[セ] \cdot [ソ]^n+[タ]}{[チ]^n-[ツ]} \]
となる.
(1)自然数$n$が$n=p^2q$($p,\ q$は素数,$p \neq q$)の形で表されるとき,$n$の正の約数は$6$個あり,それらの和は
\[ ([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
と表すことができる.このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める.正の約数の和が$2n$であるから,
\[ 2p^2q=([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
が成り立つ.$[ク]+p+p^2$は奇数であり,$p$の倍数ではないから,$[ケ]+q$は$2p^2$の倍数となり,
\[ [ケ]+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \]
とおける.したがって,
\[ q=([ク]+p+p^2)k \]
となるが,$q$は素数であるから,$k=[コ]$である.よって
\[ p^2-p-[サ]=0 \]
これを解いて,$p=[シ]$である.ゆえに$n=[ス]$である.
(2)条件
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められる数列$\{a_n\}$に対して,$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと,数列$\{b_n\}$は等比数列となり,これより,数列$\{a_n\}$の一般項は
\[ a_n=\frac{[セ] \cdot [ソ]^n+[タ]}{[チ]^n-[ツ]} \]
となる.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
$p$が奇数のとき,$\displaystyle \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^{2p}+\left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right)^{2p}$の値を求めよ.ただし,$i^2=-1$である.
![学習院大学](./img/univ/gakushuin.png)
$2$つのサイコロを振り,出た目の和が$n$であるとき,$n$の「奇数部分」を得点とする.ただし,自然数$n$の「奇数部分」とは
\[ n=2^km \quad (k \text{は} 0 \text{以上の整数,} m \text{は奇数}) \]
と表したときの$m$のこととする.たとえば
\[ 4=2^2 \times 1,\quad 5=2^0 \times 5,\quad 6=2^1 \times 3 \]
であるので,$4,\ 5,\ 6$の「奇数部分」はそれぞれ$1,\ 5,\ 3$である.
(1)得点が$9$である確率を求めよ.
(2)得点が$1$である確率を求めよ.
(3)得点の期待値を求めよ.
\[ n=2^km \quad (k \text{は} 0 \text{以上の整数,} m \text{は奇数}) \]
と表したときの$m$のこととする.たとえば
\[ 4=2^2 \times 1,\quad 5=2^0 \times 5,\quad 6=2^1 \times 3 \]
であるので,$4,\ 5,\ 6$の「奇数部分」はそれぞれ$1,\ 5,\ 3$である.
(1)得点が$9$である確率を求めよ.
(2)得点が$1$である確率を求めよ.
(3)得点の期待値を求めよ.
![北海道科学大学](./img/univ/hokkaidokagaku.png)
自然数$a,\ b$に関する命題,
(i) $a,\ b$が両方とも奇数ならば$ab$は奇数である.
(ii) $ab$が奇数ならば$a^2+b^2$は偶数である.
(iii) $3a+2b$が奇数ならば,$a,\ b$は両方とも奇数である.
について,次の問に答えよ.
(1)これらの命題のうち,真であるものは$[ ]$.
(2)これらの命題のうち,逆が真であるものは$[ ]$.
(i) $a,\ b$が両方とも奇数ならば$ab$は奇数である.
(ii) $ab$が奇数ならば$a^2+b^2$は偶数である.
(iii) $3a+2b$が奇数ならば,$a,\ b$は両方とも奇数である.
について,次の問に答えよ.
(1)これらの命題のうち,真であるものは$[ ]$.
(2)これらの命題のうち,逆が真であるものは$[ ]$.
![兵庫県立大学](./img/univ/hyougokenritsu.png)
正整数$a$と正の奇数$p,\ q$が
\[ 2^a+p^2=q^4 \]
を満たしているとする.このとき次の問いに答えよ.
(1)$q^2-p=2$を証明せよ.
(2)$q$を全て求めよ.
\[ 2^a+p^2=q^4 \]
を満たしているとする.このとき次の問いに答えよ.
(1)$q^2-p=2$を証明せよ.
(2)$q$を全て求めよ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について,次の問いに答えよ.
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ.
(2)$n$が偶数のとき,$f_n(x) \leqq \log (1+x)$,$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ.
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を,小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を,小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ.
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ.
(2)$n$が偶数のとき,$f_n(x) \leqq \log (1+x)$,$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ.
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を,小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を,小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ.
![富山県立大学](./img/univ/toyamakenritsu.png)
$1$個のさいころを$n$回続けて投げるとき,$1$の目が奇数回出る確率$p_n$について,次の問いに答えよ.ただし,$n$は自然数である.
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ.
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=\frac{1}{2}$を示せ.
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ.
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=\frac{1}{2}$を示せ.