はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は0以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は$0$以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

数直線の原点上にある点が，以下の規則で移動する試行を考える． \\
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．

(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle S(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}k^2,\ T(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}(2k-1)$とおくとき$S(n)-T(n)$が正の奇数となることを証明しなさい．
(2)関数$f(x)$が次の関係を満たすものとする．
\[ \int_{-u}^0 t \{ \frac{d}{dt} f(t+u) \} \, dt=-e^{-u} \cos u+uf(0)-u+1 \]
このとき，$z=t+u$という置き換えを利用して$\displaystyle \int_0^u f(z) \, dz$を求めなさい．
(3)整式$P_1(x)$は，$x^2-(a+1)x+a$で割ると$2x+b$余り，整式$P_2(x)$は，$x^2-(b-2)x-2b$で割ると$x-a$余る．$P_1(a)=2P_2(b)$のとき，$a$と$b$の関係を求めなさい．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[　]．
(2)下図において，地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[　]．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき，自然数$n$を求めると$n=[　]$．

$n$を2以上の自然数として，階乗$n!$を素数の積で表すときに現れる2の個数を$a_n$とおく．すなわち$\displaystyle \frac{n!}{2^{a_n}}$は奇数である．

(1)$\displaystyle \frac{(2n)!}{2^nn!}$は奇数であることを示せ．
(2)$a_{2n}-a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n=2^k \ (k \text{は自然数})$のとき，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$a_n<n$を示せ．
(5)$\sqrt[n]{n!}$は無理数であることを示せ．

自然数$N$は$30$の倍数である．
\begin{align}
& U=\{x \;|\; x \text{は}1 \text{以上} N \text{以下の奇数} \}, \nonumber \\
& A=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}3 \text{の倍数} \}, \nonumber \\
& B=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}5 \text{の倍数} \}, \nonumber
\end{align}
とし，集合$U,\ A,\ B,\ A \cap B$の要素の個数をそれぞれ$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$と表す．次の問いに答えよ．

(1)$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$を$N$を用いて表せ．
(2)$N$以下の素数の個数を$P_N$とするとき，不等式$P_N \leqq u_N-a_N-b_N+c_N+2$を示せ．
(3)(2)の$P_N$について，$\displaystyle \frac{P_N}{N} \leqq \frac{1}{3}$を示せ．