次の$[　]$をうめよ．

(1)等式$4x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4$が$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$の組を定めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，このとき$2$次方程式$4x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}$の値は$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$2 \sin^2 x+5 \cos x+1=0$を解くと，$x=[　]$である．また，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式$\cos 2y+\sin y \geqq 0$を満たす$y$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時にとりだす．このとき，カードの数字の和が奇数となる確率は$[　]$である．また，カードの数字の和が奇数のときは，その$3$つの数の最大の値を得点とし，カードの数字の和が偶数のときには一律に$5$点を得点とするゲームを考えると，このゲームの期待値は$[　]$点である．

次の問いに答えなさい．

$1$から$6$までのどの目も同様に確からしく出るサイコロ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$を振って出た目を$x$，$\mathrm{B}$を振って出た目を$y$，$\mathrm{C}$を振って出た目を$z$とする．

(1)積$xyz$が奇数である確率は$[　]$である．
(2)$(x-y)(y-z)=0$となる確率は$[　]$である．
(3)空間のベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ y,\ z)$に対して，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}=(2,\ -1,\ 0)$が垂直である確率は$[　]$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{q}=(1,\ 2,\ 3)$が平行である確率は$[　]$である．
(4)$\log_3 x+\log_3 y+\log_3 z$が整数となる確率を求めなさい．

$x$の$2$次関数
\[ y=x^2-2mx+2x+2m^2-5m-9 \cdots\cdots (\text{ア}) \]
について，次の問題に答えよ．

(1)$( \text{ア})$の最小値とそのときの$x$の値を$m$の式で求めよ．
(2)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より左，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(3)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より右，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(4)$(3)$のとき，かつ，$m$が奇数のときの$( \text{ア})$のグラフをかけ．

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n+1)}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．
\begin{eqnarray}
& & \{a_1\},\quad \{a_2,\ a_3,\ a_4 \},\quad \{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9\},\ \cdots \quad \nonumber \\
& & \text{第$1$群} \qquad \ \text{第$2$群} \qquad \qquad \quad \ \text{第$3$群} \nonumber
\end{eqnarray}
$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)第$k$群の最初の項を求めよ．
(2)第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle (k^2+1)S_k \leqq \frac{1}{100}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$が$4$で割ると$1$余る自然数ならば，積$xy$も$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(2)$0$以上の偶数$n$に対して，$3^n$を$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(3)$1$以上の奇数$n$に対して，$3^n$を$4$で割った余りが$1$でないことを証明せよ．
(4)$m$を$0$以上の整数とする．$3^{2m}$の正の約数のうち$4$で割ると$1$余る数全体の和を$m$を用いて表せ．

4で割ると余りが1である自然数全体の集合を$A$とする．すなわち，
\[ A=\{4k+1 \; | \; k\text{は0以上の整数} \} \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$および$y$が$A$に属するならば，その積$xy$も$A$に属することを証明せよ．
(2)0以上の偶数$m$に対して，$3^m$は$A$に属することを証明せよ．
(3)$m,\ n$を0以上の整数とする．$m+n$が偶数ならば$3^m7^n$は$A$に属し，$m+n$が奇数ならば$3^m7^n$は$A$に属さないことを証明せよ．
(4)$m,\ n$を0以上の整数とする．$3^{2m+1}7^{2n+1}$の正の約数のうち$A$に属する数全体の和を$m$と$n$を用いて表せ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の条件を満たすとする．
\begin{eqnarray}
& & a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber \\
& & b_1=2, b_2=6, b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
さらに行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
6 & 2 \\
2 & 2
\end{array} \biggr)$とする．このとき次が成り立つことを証明せよ．

(1)$n$が2以上の偶数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n}{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_n \\
a_n & a_{n-1}
\end{array} \biggr)$
(2)$n$が3以上の奇数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n-1}{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
b_{n+1} & b_n \\
b_n & b_{n-1}
\end{array} \biggr)$

数直線上を動く点Pが，はじめ原点の位置にある．さいころを投げて，偶数の目が出ればPは正の向きに出た目の数だけ進み，奇数の目が出ればPは負の向きに出た目の数だけ進む．さいころを続けて4回投げるとき，次の確率を求めよ．

(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率

ある奇数の自然数$m$から始まる連続する奇数個の自然数の和が$2010$である．$m$を求めよ．

ある奇数の自然数$m$から始まる連続する奇数個の自然数の和が2010である．$m$を求めよ．