次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \tan \alpha=a,\ \tan \beta=b \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，$\cos (2 \alpha+\beta)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$は，さいころを投げて出た目が偶数であれば，正の方向に$1$だけ進み，奇数であれば負の方向に$1$だけ進む．いま，点$\mathrm{P}$は原点にある．

(1)さいころを$8$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が初めて原点に戻ってくる確率を求めよ．
(3)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点に戻り，しかも戻ってくるのが$2$度目である確率を求めよ．

$a,\ b,\ c$は整数で，$a \geqq 1,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$とする．$x$の2次式$P(x)=ax^2+bx+c$を考える．

(1)$P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で[ア]個存在する．
(2)条件 \[ \lceil P(n)=5 \text{を満たす自然数}n\text{が存在する}\rfloor \]
を満たす$P(x)$は全部で[イ]個存在する．
このような$P(x)$のうち，$P(3)=17$を満たすものは
\[ P(x) = [ウ]x^2+[エ]x+[オ] \]
である．
(3)条件
\[ \lceil P(n)=3 \text{を満たす自然数}n\text{が存在し，} \]
\[ \qquad \qquad \text{かつ，任意の自然数}m\text{に対して}P(m)\text{が奇数である}\rfloor \]
を満たす$P(x)$のうち，$a$が最大のものは
\[ P(x) = [カ]x^2+[キ]x+[ク] \]
であり，$a$が最小のものは
\[ P(x) = [ケ]x^2+[コ]x+[サ] \]
である．

$1$から$9$までの整数の中から異なる$3$つの整数$a,\ b,\ c$を選ぶとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b<c$とする．

(1)$a,\ b,\ c$の積が奇数になる選び方は何通りあるか．
(2)$a,\ b,\ c$の積が$3$の倍数になる選び方は何通りあるか．
(3)$a,\ b,\ c$の積が$9$の倍数になる選び方は何通りあるか．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

$M$を$2$以上の整数とし，$0$から$M-1$までの各整数を書いたカードが$1$枚ずつ合計$M$枚，箱の中に入っているものとする．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれている数を調べて箱に戻す試行を考える．

この試行を$n$回行ったとき，箱から取り出した$n$枚のカードに書かれている数の和が偶数である確率を$P_n$で表す．

(1)$M=2$のとき，$\displaystyle P_n=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．
(2)$M=3$のとき，
\[ P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad P_2=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．また，
\[ P_n=\frac{[ホ]}{[マ]} \left( \frac{[ミ]}{[ム]} \right)^n+\frac{[メ]}{[モ]} \]
である．
(3)$M$が偶数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヤ]}{[ユ]} \]
である．また$M$が奇数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \frac{1}{M} \right)^n+\frac{[リ]}{[ル]} \]
である．

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の問いに答えなさい．

(1)$1$以上$200$以下の自然数の中で，$2$または$5$で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ 3(2x-3)^2-4(2x+1)+12 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-2|>3x \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき，次の式の値を求めなさい．


(i) $x^2-y^2$
(ii) $x^3+y^3$

(5)$7$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$から異なる$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，次の問いに答えなさい．

(i) $5$桁の整数は全部で何個できるか．その個数を求めなさい．
(ii) $(1)$で求めた$5$桁の整数のうち，奇数は何個できるか．その個数を求めなさい．

(6)$\displaystyle \left( 3x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の展開式における$x^4$の係数を求めなさい．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

自然数$n$に対し$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \sin \left( \frac{k^2 \pi}{4} \right)$と定める．以下の問いに答えよ．

(1)$S_4$を求めよ．
(2)$n$が奇数ならば，$S_{n+1}=S_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．