数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．

数列$\{a_n\}$の各項$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n \ \text{が偶数のとき，} & a_{n+1}=a_n+1 \\
a_n \ \text{が奇数のとき，} & a_{n+1}=2a_n
\end{array} \right. \]
により定める．次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の整数とする．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．
(2)$a_{2k}$を用いて，$a_{2k+2}$を表せ．また，$a_{2k-1}$を用いて，$a_{2k+1}$を表せ．
(3)$a_{2k},\ a_{2k-1}$を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，さいころ$\mathrm{A}$の出る目が偶数ならば$+3$だけ移動し，奇数ならば$-1$だけ移動する．点$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{B}$の出る目が$2$以下ならば$+3$だけ移動し，$3$以上ならば$+1$だけ移動する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問いに答えよ．

(1)$8$回目の操作で，点$\mathrm{P}$が原点に戻る確率$p_1$を求めよ．
(2)$6$回目の操作で，点$\mathrm{Q}$の座標が$14$以上である確率$p_2$を求めよ．
(3)$4$回目の操作で，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標が同じである確率$p_3$を求めよ．

自然数を自然数に移す関数$f(n)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{n}{2} & (n \text{が偶数のとき}) \\
n+1 & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right.$について，$f$が$m$を$n$に移すことを，$m \longmapsto \hspace{-9mm} {\phantom{\frac{1}{2}}}^f \hspace{3mm} n$と表す．例えば，
\[ 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{2.5mm} 1,\qquad 3 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 4 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 1 \]
である．$2$以上の自然数$n$を$f$で繰り返し移すとき，$1$に移るまでに必要な最小の移動回数を$a_n$とする．したがって，$a_2=1$，$a_3=3$である．$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{2n+1}$と$a_{2n+2}$をそれぞれ$a_{n+1}$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots \}$を次のように，第$n$群の項数が$2^{n-1}$になるように分ける．
\[ a_2 \;|\; a_3,\ a_4 \;|\; a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8 \;|\; a_9,\ a_{10},\ a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{14},\ a_{15},\ a_{16} \;|\; \cdots \]

(i) 第$n$群の初項を$n$を用いて表せ．
(ii) 第$n$群の総和を$S_n$とする．$S_{n+1}$を$n$と$S_n$を用いて表せ．また，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=2}^{2^n} a_k$を$n$を用いて表せ．

数列$\{a_n\}$が次のように帰納的に定められている．
\begin{eqnarray}
a_1 &=& 0 \nonumber \\
a_{n+1} &=& \left\{
\begin{array}{l}
2a_n \quad (n\text{が奇数のとき}) \\
a_n+1 \quad (n\text{が偶数のとき})
\end{array}
\right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}

(1)$a_{10}$を求めよ．
(2)$n$が奇数の場合と偶数の場合それぞれについて，$a_{n+4}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．

さいころを$n$回投げたとき1の目が出る回数が奇数である確率を$p_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$\displaystyle p_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．

座標平面の$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$と$y$軸上を動く点$\mathrm{Q}$に対して次の操作を行う．\\
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．

(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．

自然数$k$に対し，$\displaystyle a_k=\frac{(3k+1)(3k+2)}{3k(k+1)}$で与えられる数列を考える．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表す．
(2)数列$\{a_k\}$から$b_1=a_1,\ b_2=a_2+a_3+a_4,\ b_3=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9,\ \cdots$のように，奇数個ずつの$a_k$の和をとり数列$\{b_k\}$を考えるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k \geqq 675$となる最小の$n$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．