自然数の組$(x,\ y,\ z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．

(1)すべての自然数$n$について，$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ．
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3)$x$が偶数，$y$が奇数であるとする．このとき，$x$が$4$の倍数であることを示せ．

点$\mathrm{P}$は数直線上を動くものとする．$1$個のさいころを投げて，奇数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，偶数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$2$だけ進む．$n$を自然数とする．さいころを続けて投げて，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離が$n$以上になったら，そこでさいころを投げるのをやめるものとする．このときに，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離がちょうど$n$である確率を$a_n$とする．また，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表せ．
(3)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(4)$b_n,\ a_n$を求めよ．

袋の中に，$1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉，$3$と書かれた玉，$6$と書かれた玉が$1$つずつ，全部で$4$つ入っている．ここから玉を$1$つ取り出して袋に戻すことを$3$回行う．取り出した玉に書かれた数を順に$a,\ b,\ c$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a+b+c$が奇数になる確率を求めよ．$[イ]$
(2)$a \times b \times c$が偶数になる確率を求めよ．$[ロ]$
(3)$a \times b \times c$が$6$の倍数になる確率を求めよ．$[ハ]$
(4)$a \times b+b \times c+c \times a$が$3$の倍数になる確率を求めよ．$[ニ]$

$1$個のさいころを$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）投げたとき，$1$の目が出る回数が偶数となる確率を$p_n$，奇数となる確率を$q_n$とする．ただし，$0$は偶数に含まれるものとする．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(3)$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

以下の問に答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．

(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．

(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[　]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．

(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[　]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[　]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[　]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[　]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[　]$．

(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．

\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．頂点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに$1$動き，偶数の目が出たときは反時計回りに$2$動くという試行を繰り返し，再び頂点$\mathrm{A}$に戻ったとき試行を終了する．

(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)$3$回の試行後，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)$3k$回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，$k$は正の整数とする．

$m,\ p$を3以上の奇数とし，$m$は$p$で割り切れないとする．

(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ．
(2)$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$(p-1)^m+1$は$p^2$で割り切れないことを示せ．
(4)$r$を正の整数とし，$s=3^{r-1}m$とする．$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ．

$m$を正の奇数とする．

(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ．
(2)$p$を正の整数とするとき，$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$r$を正の整数とし，$s=3^{r-1}m$とする．$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ．

$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．

規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．

\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．

(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．