「奇数」について
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(10ページ目:全170問中91問~100問を表示)![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
自然数の組$(x,\ y,\ z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする.
(1)すべての自然数$n$について,$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ.
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ.
(3)$x$が偶数,$y$が奇数であるとする.このとき,$x$が$4$の倍数であることを示せ.
(1)すべての自然数$n$について,$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ.
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ.
(3)$x$が偶数,$y$が奇数であるとする.このとき,$x$が$4$の倍数であることを示せ.
![大阪市立大学](./img/univ/osakashiritsu.png)
点$\mathrm{P}$は数直線上を動くものとする.$1$個のさいころを投げて,奇数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み,偶数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$2$だけ進む.$n$を自然数とする.さいころを続けて投げて,出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離が$n$以上になったら,そこでさいころを投げるのをやめるものとする.このときに,出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離がちょうど$n$である確率を$a_n$とする.また,$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく.次の問いに答えよ.
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表せ.
(3)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(4)$b_n,\ a_n$を求めよ.
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表せ.
(3)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(4)$b_n,\ a_n$を求めよ.
![会津大学](./img/univ/aizu.png)
袋の中に,$1$と書かれた玉,$2$と書かれた玉,$3$と書かれた玉,$6$と書かれた玉が$1$つずつ,全部で$4$つ入っている.ここから玉を$1$つ取り出して袋に戻すことを$3$回行う.取り出した玉に書かれた数を順に$a,\ b,\ c$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$a+b+c$が奇数になる確率を求めよ.$[イ]$
(2)$a \times b \times c$が偶数になる確率を求めよ.$[ロ]$
(3)$a \times b \times c$が$6$の倍数になる確率を求めよ.$[ハ]$
(4)$a \times b+b \times c+c \times a$が$3$の倍数になる確率を求めよ.$[ニ]$
(1)$a+b+c$が奇数になる確率を求めよ.$[イ]$
(2)$a \times b \times c$が偶数になる確率を求めよ.$[ロ]$
(3)$a \times b \times c$が$6$の倍数になる確率を求めよ.$[ハ]$
(4)$a \times b+b \times c+c \times a$が$3$の倍数になる確率を求めよ.$[ニ]$
![公立はこだて未来大学](./img/univ/hakodatemirai.png)
$1$個のさいころを$n$回($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)投げたとき,$1$の目が出る回数が偶数となる確率を$p_n$,奇数となる確率を$q_n$とする.ただし,$0$は偶数に含まれるものとする.以下の問いに答えよ.
(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$をそれぞれ求めよ.
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ.
(3)$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ.
(4)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$をそれぞれ求めよ.
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ.
(3)$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ.
(4)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
![鳥取環境大学](./img/univ/tottorikankyou.png)
以下の問に答えよ.
(1)次の$(ⅰ)$~$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ.また真の場合は理由を示し,偽の場合は反例を示せ.命題でない場合は「命題でない」と答えよ.
(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である.
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である.
(iii) 数学は美しい.
(2)次の$(ⅰ)$~$\tokeigo$の$[ ]$の中に,必要条件であるが十分条件でない,十分条件であるが必要条件でない,必要十分条件である,必要条件でも十分条件でもない,のいずれが当てはまるか答えよ.
(i) $x$が偶数であることは,$x$が整数であるための$[ ]$.
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは,三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[ ]$.
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき,$y>2x^2$であることは,$y>x^2-2x-2$であるための$[ ]$.
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは,四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[ ]$.
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは,四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[ ]$.
(3)次の命題(ア),(イ)の逆,裏,対偶をそれぞれ書け.また,元の命題,逆,裏,対偶の真偽をそれぞれ答えよ.
\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である.
\mon[(イ)] $n$を整数とする.$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である.
(1)次の$(ⅰ)$~$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ.また真の場合は理由を示し,偽の場合は反例を示せ.命題でない場合は「命題でない」と答えよ.
(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である.
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である.
(iii) 数学は美しい.
(2)次の$(ⅰ)$~$\tokeigo$の$[ ]$の中に,必要条件であるが十分条件でない,十分条件であるが必要条件でない,必要十分条件である,必要条件でも十分条件でもない,のいずれが当てはまるか答えよ.
(i) $x$が偶数であることは,$x$が整数であるための$[ ]$.
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは,三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[ ]$.
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき,$y>2x^2$であることは,$y>x^2-2x-2$であるための$[ ]$.
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは,四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[ ]$.
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは,四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[ ]$.
(3)次の命題(ア),(イ)の逆,裏,対偶をそれぞれ書け.また,元の命題,逆,裏,対偶の真偽をそれぞれ答えよ.
\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である.
\mon[(イ)] $n$を整数とする.$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である.
![岐阜薬科大学](./img/univ/gihuyakka.png)
$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある.頂点$\mathrm{A}$を出発して,さいころを振るごとに,奇数の目が出たときは時計回りに$1$動き,偶数の目が出たときは反時計回りに$2$動くという試行を繰り返し,再び頂点$\mathrm{A}$に戻ったとき試行を終了する.
(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て,試行を終了する確率を求めよ.
(2)$3$回の試行後,点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ.
(3)$3k$回の試行後,試行を終了する確率を求めよ.ただし,$k$は正の整数とする.
(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て,試行を終了する確率を求めよ.
(2)$3$回の試行後,点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ.
(3)$3k$回の試行後,試行を終了する確率を求めよ.ただし,$k$は正の整数とする.
![名古屋大学](./img/univ/nagoya.png)
$m,\ p$を3以上の奇数とし,$m$は$p$で割り切れないとする.
(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ.
(2)$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ.
(3)$(p-1)^m+1$は$p^2$で割り切れないことを示せ.
(4)$r$を正の整数とし,$s=3^{r-1}m$とする.$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ.
(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ.
(2)$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ.
(3)$(p-1)^m+1$は$p^2$で割り切れないことを示せ.
(4)$r$を正の整数とし,$s=3^{r-1}m$とする.$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ.
![名古屋大学](./img/univ/nagoya.png)
$m$を正の奇数とする.
(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ.
(2)$p$を正の整数とするとき,$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ.
(3)$r$を正の整数とし,$s=3^{r-1}m$とする.$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ.
(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ.
(2)$p$を正の整数とするとき,$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ.
(3)$r$を正の整数とし,$s=3^{r-1}m$とする.$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ.
![広島大学](./img/univ/hiroshima.png)
$N$は$4$以上の整数とする.次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる.
規則:出た目を毎回記録し,偶数の目が$3$回出るか,あるいは奇数の目が$N$回出たところで,さいころを投げる操作を終了する.
ただし,さいころの目の出方は同様に確からしいとする.次の問いに答えよ.
(1)さいころを投げる回数は,最大で何回か.
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ.
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ.
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ.
(5)$N=4$のとき,さいころを投げる回数の期待値を求めよ.
規則:出た目を毎回記録し,偶数の目が$3$回出るか,あるいは奇数の目が$N$回出たところで,さいころを投げる操作を終了する.
ただし,さいころの目の出方は同様に確からしいとする.次の問いに答えよ.
(1)さいころを投げる回数は,最大で何回か.
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ.
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ.
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ.
(5)$N=4$のとき,さいころを投げる回数の期待値を求めよ.
![防衛医科大学校](./img/univ/boueiidai.png)
以下の問に答えよ.
(1)以下の条件 (ア),(イ) を満たす正の整数は,小さい順に並べると,等差数列になる.この数列の初項と公差を求めよ.
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる.
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数,余りが$3$となる.
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$,$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか.
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ.
(1)以下の条件 (ア),(イ) を満たす正の整数は,小さい順に並べると,等差数列になる.この数列の初項と公差を求めよ.
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる.
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数,余りが$3$となる.
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$,$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか.
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ.