$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．

$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．

$a,\ b,\ c$を相異なる正の実数とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)次の$2$数の大小を比較せよ．
\[ a^3+b^3,\ a^2b+b^2a \]
(2)次の$4$数の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
\begin{eqnarray}
& & (a+b+c)(a^2+b^2+c^2),\quad (a+b+c)(ab+bc+ca), \nonumber \\
& & 3(a^3+b^3+c^3),\quad 9abc \nonumber
\end{eqnarray}
(3)$x,\ y,\ z$を正の実数とするとき
\[ \frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c$を相異なる正の実数とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)次の$2$数の大小を比較せよ．
\[ a^3+b^3,\ a^2b+b^2a \]
(2)次の$4$数の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
\begin{eqnarray}
& & (a+b+c)(a^2+b^2+c^2),\quad (a+b+c)(ab+bc+ca), \nonumber \\
& & 3(a^3+b^3+c^3),\quad 9abc \nonumber
\end{eqnarray}
(3)$x,\ y,\ z$を正の実数とするとき
\[ \frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．

四角形ABCDは次の条件を満たす．

\mon[(i)] $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$
\mon[(ii)] $\text{BD}=1,\ \angle \text{ABD}=90^\circ$

線分ACと線分BDとの交点をEとする．線分ABを3等分して，点Aに近い分点をMとし，点Bに近い分点をNとする．$\angle \text{CAB}=\alpha,\ \angle \text{MDN}=\beta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{DE}}$を求めよ．
(2)$\tan \beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$と$\beta$の大小を判定せよ．

$2$次方程式$x^2 \sin \theta - x \cos(2\theta) + \sin \theta = 0$が重解をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．

(1)$\sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\theta$と$\displaystyle \frac{\pi}{12}$の大小を比較せよ．

次の問に答えよ．

(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．

次の問に答えよ．

(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．

$2$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．

{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．

例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(4)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が勝つ確率を求めなさい．
(5)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が引き分けとなる確率を求めなさい．

$2$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．

{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．

例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．