大小$2$個のさいころを同時に投げる．大きなさいころの出た目の数を小さなさいころの出た目の数で割った値を$X$とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が整数となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4}<X<4$となる確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．

次の各組の数の大小を比較せよ．

(1)$\log_2 1000,\ 10$
(2)$\log_2 100,\ 6.5$
(3)$\log_{0.5} 10,\ 3 \log_{0.5} 2$

大小$2$つのサイコロを同時に投げる試行について考える．出た目の積が偶数になる場合が$m$通り，出た目の積が$4$の倍数になる場合が$n$通りであるとする．$\displaystyle \frac{m-n}{6}$の値を求めよ．

大小$2$つのサイコロを投げるとき，目の和が$3$の倍数である確率は$[$1$]$である．また，目の積が偶数である確率は$[$2$]$である．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．

$\mathrm{O}$を$xy$平面の原点とする．以下の設問に答えよ．

(1)$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$と点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を考える．
\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad b_1>0,\quad b_2<0 \]
であるとき，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を用いて表せ．
(2)対数関数
\[ f(x)=\log_2x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}}x \]
に対し，$xy$平面上の曲線
\[ \begin{array}{ll}
C_1:y=f(x) & (x \geqq 1) \\
C_2:y=g(x) & (x \geqq 1)
\end{array} \]
を考える．$C_1$上に点$\mathrm{S}(s,\ f(s))$，$C_2$上に点$\mathrm{T}(t,\ g(t))$をとる．ただし，$s \cdot t=8$とする．このとき$s$を用いて，$\triangle \mathrm{SOT}$の面積$H(s)$を表せ．
(3)$(2)$の$H(s)$に対し，$H(3)$と$H(4)$の大小を比較せよ．

次の数の大小を比べ，空欄に不等号を入れなさい．

(1)$\sqrt[3]{16} \ [ア] \sqrt[4]{32}$
(2)$\log_3 10 \ [イ] \log_9 90$
(3)$2 \ [ウ] \log_3 5+\log_5 3$

以下の各問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$において，$|\cos x|=\sin x$を満たす$x$を求め，$0 \leqq x \leqq \pi$において，$\cos(\cos x),\ \cos(\sin x)$の大小を比較せよ．
(2)$\displaystyle \alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \alpha > \sin \beta$となることを示し，$0 \leqq x \leqq \pi$において，$\cos (\cos x)> \sin (\sin x)$を示せ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b,\ g(x)=x^3-(a+b)x^2+(a+1)bx-b^2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(3)方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．