次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=x^2+bx+c$，$g(x)=x^2+(b+2)x+c$とする．$f(2011)=0$かつ$g(2010)=-1$のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(2)方程式$3^{2x}-2 \cdot 3^{x+1}=27$を解け．
(3)$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3},\ \cos \beta=-\frac{1}{2}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$，$\cos (\alpha-\beta)$，$\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．
(4)多項式$P(x)$を$(x-5)$，$(x-7)$で割った余りがそれぞれ$3,\ 4$である．このとき，$P(x)$を$(x-5)(x-7)$で割った余りを求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$[$1$]$となる．
(2)多項式
\[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \]
を因数分解すると$[$2$]$となる．
(3)$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，
\[ \begin{array}{lll}
(f *_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\
&=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)
\end{array} \]
とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f *_t g)(x)$を計算すると$[$3$]$となる．
(4)関係式
\[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \]
をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=[$4$]$となる．$f(0)=[$5$]$であるから$f(x)=[$6$]$となる．

実数$p,\ q,\ r$に対して，3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める．実数$a,\ c,\ $および0でない実数$b$に対して，$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．

(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．

$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．

(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．

$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．

(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．

$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．

(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．答えだけでなく，必ず証明も記せ．

(1)和$1+2+\cdots +n$を$n$の多項式で表せ．
(2)和$1^2+2^2+\cdots +n^2$を$n$の多項式で表せ．
(3)和$1^3+2^3+\cdots +n^3$を$n$の多項式で表せ．

微分可能な関数$y=f(x)$が次の方程式を満たすとする．
\[ a_nf^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+\cdots +a_1f^{(1)}(x)+a_0f(x)=0 (\text{A}) \]
ここに$n$は自然数，$a_i \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots, n)$は実数の定数で，$a_n \neq 0$である．また，$y^{(k)}=f^{(k)}(x)$は$f(x)$の$k$次導関数で$y^{(0)}=f^{(0)}(x)=f(x)$とする．(A)のような方程式を第$n$階微分方程式といい，(A)に対して$t$の$n$次方程式
\[ a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_1t+a_0=0 (\text{B}) \]
を(A)の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．

(1)特性方程式(B)の解が実数$r$であるとき，関数$y=e^{rx}$が方程式(A)を満たすことを証明せよ．
(2)$n$次方程式(B)が実数$r$を$k$重解$^{(\text{注})}$にもつとき，次の$t$に関する方程式は$r$を$k-1$重解にもつことを証明せよ．ただし，$k=2,\ 3,\ \cdots$とする．
\[ na_nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+\cdots +2a_2t+a_1=0 \]
(注) \quad $t$の$m$次方程式が適当な多項式$Q(t)$を用いて$(t-r)^kQ(t)=0$となるとき，$t=r$をこの方程式の$k$重解と定義する．ただし，$k=1,\ 2,\ \cdots$とする．
(3)実数の定数$r$に対して$x$の関数を$y_i=x^ie^{rx} \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$とする．このとき，$y_j^{(n)}$を$x,\ y_{j-1}^{(n-1)}$および$y_{j-1}^{(n)}$を用いて表せ．ただし，$j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(4)実数$r$が$n$次方程式(B)の$k$重解であるとき$y_i=x^ie^{rx} \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ k-1)$が微分方程式(A)を満たすことを証明せよ．ただし，$k$は自然数とする．

多項式$x^4-2x^3+ax^2+bx+68\ (a,\ b\text{は実数})$が$x^2-x-2$で割り切れるとき，$(a+b)$の値を求めよ．

多項式$x^4-2x^3+ax^2+bx+68$（$a,\ b$は実数）が$x^2-x-2$で割り切れるとき，$(a+b)$の値を求めよ．