「多項式」について
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私立 成城大学 2013年 第1問$x$の多項式$f(x)$について，$t$についての恒等式
\[ f(t)+f(t^2+t)=tf(t)+3t-2 \]
が成り立つとする．
(1)$f(x)$は何次式か．
(2)$f(x)$を求めよ．
\[ f(t)+f(t^2+t)=tf(t)+3t-2 \]
が成り立つとする．
(1)$f(x)$は何次式か．
(2)$f(x)$を求めよ．
私立 早稲田大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n (2 \leqq n \leqq 12)$に対して
\[ P_n=\frac{[ア]-|n-[イ]|}{[ウ]} \]
である．
(2)整数$p,\ q$に対して，多項式
\[ f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p \]
を考える．$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$がすべて素数のとき，$p=[エ]$，$q=[オ]$である．
(1)$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n (2 \leqq n \leqq 12)$に対して
\[ P_n=\frac{[ア]-|n-[イ]|}{[ウ]} \]
である．
(2)整数$p,\ q$に対して，多項式
\[ f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p \]
を考える．$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$がすべて素数のとき，$p=[エ]$，$q=[オ]$である．
公立 京都府立大学 2013年 第3問$0 \leqq a<1$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$y=1+x \sqrt{1-x^2}$で，直線$\ell$を$y=1+ax$で定める．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$の関数と考えて$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，不等式$2x \sqrt{1-x^2} \geqq x$を解け．
(2)$V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．
(3)$\displaystyle M_n=\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n V \left( \frac{k}{2n} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}M_n$を求めよ．
(1)$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，不等式$2x \sqrt{1-x^2} \geqq x$を解け．
(2)$V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．
(3)$\displaystyle M_n=\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n V \left( \frac{k}{2n} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}M_n$を求めよ．
公立 横浜市立大学 2013年 第2問$a$を正の定数とする．$n$を$0$以上の整数とし，多項式$P_n(x)$を$n$階微分を用いて
\[ P_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n \quad (n \geqq 1),\quad P_0(x)=1 \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$n=2$および$n=3$に対して
\[ P_2(-a),\quad P_3(-a) \]
を求めよ．
(2)$u=u(x)$，$v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bf ライプニッツの公式}
\[ (uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v^\prime+\cdots +\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots +\comb{n}{n-1}u^\prime v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)} \]
を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n \geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．
(3)一般の$n$に対して
\[ P_n(-a),\quad P_n(a) \]
を求めよ．
\[ P_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n \quad (n \geqq 1),\quad P_0(x)=1 \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$n=2$および$n=3$に対して
\[ P_2(-a),\quad P_3(-a) \]
を求めよ．
(2)$u=u(x)$，$v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bf ライプニッツの公式}
\[ (uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v^\prime+\cdots +\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots +\comb{n}{n-1}u^\prime v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)} \]
を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n \geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．
(3)一般の$n$に対して
\[ P_n(-a),\quad P_n(a) \]
を求めよ．
国立 京都大学 2012年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$P(x)$は有理数を係数とする$x$の多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$を満たしているとする．このとき$P(x)$は$x^3-2$で割り切れることを証明せよ．
(1)$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$P(x)$は有理数を係数とする$x$の多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$を満たしているとする．このとき$P(x)$は$x^3-2$で割り切れることを証明せよ．
国立 岡山大学 2012年 第4問$f(x)=4x(1-x)$とする．このとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
f_1(x)=f(x), \\
f_{n+1}(x) = f_n(f(x))
\end{array}
\right. \]
によって定まる多項式$f_n(x)$について以下の問いに答えよ．
(1)方程式$f_2(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq t < 1$を満たす定数$t$に対し，方程式$f(x)=t$の解を$\alpha(t),\ \beta(t)$とする．$c$が$0 \leqq c <1$かつ$f_n(c)=0$を満たすとき，$\alpha(c),\ \beta(c)$は$f_{n+1}(x)=0$の解であることを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$範囲での方程式$f_n(x)=0$の異なる解の個数を$S_n$とする．このとき$S_{n+1}$を$S_n$で表し，一般項$S_n$を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
f_1(x)=f(x), \\
f_{n+1}(x) = f_n(f(x))
\end{array}
\right. \]
によって定まる多項式$f_n(x)$について以下の問いに答えよ．
(1)方程式$f_2(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq t < 1$を満たす定数$t$に対し，方程式$f(x)=t$の解を$\alpha(t),\ \beta(t)$とする．$c$が$0 \leqq c <1$かつ$f_n(c)=0$を満たすとき，$\alpha(c),\ \beta(c)$は$f_{n+1}(x)=0$の解であることを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$範囲での方程式$f_n(x)=0$の異なる解の個数を$S_n$とする．このとき$S_{n+1}$を$S_n$で表し，一般項$S_n$を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
(1)関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
(1)関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 愛知教育大学 2012年 第5問$a$を実数の定数とし，$5$次多項式$\displaystyle f(x)=x^5-\frac{5}{3}(a^2+1)x^3+5a^2x$を考える．ただし，$a>1$とする．
(1)$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)$a$が$(1)$の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．
(4)$a$が$(1)$と$(3)$の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．
(1)$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)$a$が$(1)$の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．
(4)$a$が$(1)$と$(3)$の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．