一辺の長さが$1$の正十角形$D$が平面上にある．$D$の外接円を$C$とおき，$C$の中心を$\mathrm{O}$，$C$の半径を$R$とおく．$D$の頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$は$C$上でこの順に反時計回りに並んでいるとする．点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$から直線$\mathrm{OP}_1$へ下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}_2$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{H}_3$とする．

(1)$\displaystyle R=\frac{1}{2 \sin \theta_1}$を満たす$\theta_1 \ (0^\circ<\theta_1<90^\circ)$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2=\sin \theta_2$，$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3=\cos \theta_3$を満たす$\theta_2,\ \theta_3 \ (0^\circ<\theta_2<90^\circ,\ 0^\circ<\theta_3<90^\circ)$を求めよ．
(3)等式$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2+\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3+\mathrm{H}_3 \mathrm{O}=R$を用いて，$\sin 18^\circ$の値を求めよ．
(4)$D$の面積を$S$とするとき，$S^2$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BDC}=120^\circ$とする．

(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{10}$である三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．この円の半径は$2$である．この円の，点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{OC}$の共有点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{DB}$と線分$\mathrm{DC}$の長さが$\mathrm{DB}:\mathrm{DC}=3:2$を満たすとき，次の線分の長さを求めよ．

$(1) \quad \mathrm{DC} \qquad (2) \quad \mathrm{AD} \qquad (3) \quad \mathrm{CE}$

次の各問いに答えよ．

(1)$x^2(x^2+1)-(x-2)(x+1)(x^2-x+2)$を計算して簡単にせよ．
(2)$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{4}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{MC}$の長さと，三角形$\mathrm{AMC}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=5+\sqrt{3}$，$b=5-\sqrt{3}$，$c=3+\sqrt{5}$，$d=3-\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AC}=5$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる（ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$と一致しない）．また，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}=\mathrm{AC}$の場合，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AD}=t$として，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値は$t$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=3 \sqrt{2}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，以下の内積を求めよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[ネノハ]$
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[　]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[　]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[　]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[　]$と$y=[　]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[　]$である．

次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=13$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．