「外接円」について
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私立 上智大学 2015年 第3問平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第6問座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．
私立 北里大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．
(1)$k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である．
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$[エ]$，共通の接線の方程式は$y=[オ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．このとき，$a_4=[カ]$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．また，$S_n=[ク]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である．
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である．
(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．
(i) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．
$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である．
(1)$k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である．
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$[エ]$，共通の接線の方程式は$y=[オ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．このとき，$a_4=[カ]$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．また，$S_n=[ク]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である．
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である．
(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．
(i) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．
$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である．
私立 昭和大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6-x$とする．ただし，$1<x<5$である．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6-x$とする．ただし，$1<x<5$である．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$x$で表せ．
(4)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を$x$で表せ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を$a^2+b^2=1$を満たす実数とするとき，$a+2b$の最大値を求めよ．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+24-a=0$が異なる$2$つの整数解をもつとする．実数$a$をすべて求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を$a^2+b^2=1$を満たす実数とするとき，$a+2b$の最大値を求めよ．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+24-a=0$が異なる$2$つの整数解をもつとする．実数$a$をすべて求めよ．
私立 獨協医科大学 2015年 第3問$a,\ b$を実数の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 1)$がある．
三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ \frac{[ウエ]}{[オ]},\ \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OH}$の交点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]},\ \frac{[コ]}{[サ]},\ \frac{[シ]}{[ス]} \right) \]
である．
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$に垂直で，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直であるとする．このとき$a=[セソ]$，$\displaystyle b=\frac{[タ]}{[チ]}$である．以下で，$a,\ b$はこの値であるとする．
線分$\mathrm{CK}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直になるように点$\mathrm{L}$をとるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\left( [ツ],\ [テ],\ \frac{[ト]}{[ナ]} \right) \]
である．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直である．
平面$\mathrm{OAB}$において，三角形$\mathrm{KAB}$の外接円の周上に点$\mathrm{P}$をとるとき，線分$\mathrm{LP}$の長さの最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ニヌ]}}{[ネ]}$である．
三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ \frac{[ウエ]}{[オ]},\ \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OH}$の交点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]},\ \frac{[コ]}{[サ]},\ \frac{[シ]}{[ス]} \right) \]
である．
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$に垂直で，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直であるとする．このとき$a=[セソ]$，$\displaystyle b=\frac{[タ]}{[チ]}$である．以下で，$a,\ b$はこの値であるとする．
線分$\mathrm{CK}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直になるように点$\mathrm{L}$をとるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\left( [ツ],\ [テ],\ \frac{[ト]}{[ナ]} \right) \]
である．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直である．
平面$\mathrm{OAB}$において，三角形$\mathrm{KAB}$の外接円の周上に点$\mathrm{P}$をとるとき，線分$\mathrm{LP}$の長さの最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ニヌ]}}{[ネ]}$である．
私立 広島経済大学 2015年 第4問$\mathrm{AB}=5 \sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=6$，$\angle \mathrm{B}={45}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$を満たす$\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{D}$を定める．次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[$28$]$である．
(2)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BD}=[$30$]$である．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$の面積は$[$31$]$である．
(4)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{CAD}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(5)直線$\mathrm{AD}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{E}$とする．
このとき，$\displaystyle \mathrm{EC}=\frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[$28$]$である．
(2)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BD}=[$30$]$である．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$の面積は$[$31$]$である．
(4)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{CAD}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(5)直線$\mathrm{AD}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{E}$とする．
このとき，$\displaystyle \mathrm{EC}=\frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
私立 広島経済大学 2015年 第4問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線が円$\mathrm{O}$と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{D}$とする．次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$34$]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．
(4)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[$39$] \sqrt{[$40$]}+\sqrt{[$41$]}}{[$42$]}$である．
(5)三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}+[$45$] \sqrt{[$46$]}}{[$47$]}$である．
但し$[$44$]<[$46$]$とする．
(1)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$34$]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．
(4)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[$39$] \sqrt{[$40$]}+\sqrt{[$41$]}}{[$42$]}$である．
(5)三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}+[$45$] \sqrt{[$46$]}}{[$47$]}$である．
但し$[$44$]<[$46$]$とする．
私立 京都産業大学 2015年 第3問$xy$平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$がある．ただし，点$\mathrm{O}$は原点，点$\mathrm{A}$の座標は$(5,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の$y$座標は正であり，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$であるとする．さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の外側に，辺$\mathrm{AB}$を共有する正方形$\mathrm{ABCD}$がある．
(1)$\theta$を用いて表すと，$\mathrm{B}$の座標は$[ア]$であり，$\mathrm{C}$の座標は$[イ]$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\theta=[ウ]$のとき最大値をとり，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\theta=[エ]$のとき最大値をとる．
以下では，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるとする．
(3)$\mathrm{AB}=[オ]$である．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の半径は$[カ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAD}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$\theta$を用いて表すと，$\mathrm{B}$の座標は$[ア]$であり，$\mathrm{C}$の座標は$[イ]$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\theta=[ウ]$のとき最大値をとり，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\theta=[エ]$のとき最大値をとる．
以下では，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるとする．
(3)$\mathrm{AB}=[オ]$である．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の半径は$[カ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAD}$の外接円の半径を求めよ．