次の各問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{a}$，$\mathrm{CA}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\cos \theta$を$a$の式で表せ．また，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるような$a$の値を求めよ．また，このときの外接円の半径$R$と内接円の半径$r$をそれぞれ求めよ．
(3)上の$(2)$が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の弧$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{D}$によってできる四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．ただし，弧$\mathrm{CA}$上には点$\mathrm{B}$がないものとする．

Oを原点とする座標平面上に点A$(7,\ 0)$，B$(4,\ 4)$がある．次の各問に答えよ．

(1)$\triangle$OABの外接円の半径を求めよ．
(2)$\triangle$OABの外接円の中心の座標を求めよ．
(3)$\triangle$OABの内接円の半径を求めよ．
(4)$\triangle$OABの内接円の中心の座標を求めよ．

座標平面上に正十二角形があり，その外接円の中心を$\mathrm{C}(c,\ 0)$とする．正十二角形の頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{12}$はこの順に反時計まわりにならんでいる．点$\mathrm{A}_1$の座標を$(a,\ b)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}_7$の座標を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}_2$と$\mathrm{A}_8$の座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_7 \mathrm{A}_8$は面積が$9$であり，重心の座標が$(-3,\ -1)$であるとき，$a,\ b,\ c$の値をすべて求めよ．

一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき，次の問いに答えよ．なお，正二十面体は，すべての面が合同な正三角形であり，各頂点は$5$つの正三角形に共有されている．

(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．