「外接円」について
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国立 千葉大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さは1，頂点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{CA}$に下ろした垂線の長さは$\sqrt{2}$，頂点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の長さは2である．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積と，内接円の半径，および，外接円の半径を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第2問鋭角三角形$\triangle$ABCにおいて，頂点Aを通り直線BCに点Bで接する円$C_1$の半径を$p$，頂点Aを通り直線BCに点Cで接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle$ABCの外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．
国立 岩手大学 2010年 第2問鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{B}$で接する円$C_1$の半径を$p$，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{C}$で接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．
国立 長崎大学 2010年 第3問$\displaystyle \angle \text{A}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{B}=\alpha$である$\triangle$ABCを考える．$\triangle$ABCの外接円の半径を$R$とする．この外接円上の点Pが，点Aを含まない弧BC上を動くものとする．$\displaystyle \angle \text{BAP}=\theta \ (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle$ABPの面積の最大値を$R,\ \alpha$を用いて表せ．
(2)$\triangle$BPCの面積を$R,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{3}$とする．$\triangle$ABPと$\triangle$BPCの面積の和$S$の最大値を求めよ．
(1)$\triangle$ABPの面積の最大値を$R,\ \alpha$を用いて表せ．
(2)$\triangle$BPCの面積を$R,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{3}$とする．$\triangle$ABPと$\triangle$BPCの面積の和$S$の最大値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第1問$3$辺が$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=6,\ \mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{OB} \perp \mathrm{AD}$を示しなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{OB} \perp \mathrm{AD}$を示しなさい．
国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)$4$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$7$になる確率を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=75^\circ,\ \angle \mathrm{B}=60^\circ,\ \mathrm{AB}=1$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)$4$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$7$になる確率を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=75^\circ,\ \angle \mathrm{B}=60^\circ,\ \mathrm{AB}=1$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{CA}=3$とする．この三角形の外接円の中心を$\mathrm{O}$，辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．ただし，$s,\ t$は実数とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$の式で表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$の式で表せ．
(2)$\mathrm{BC}=4$のとき，$\cos \theta$，$s$，$t$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\displaystyle s=\frac{2}{3}$のとき，$t$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$の式で表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$の式で表せ．
(2)$\mathrm{BC}=4$のとき，$\cos \theta$，$s$，$t$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\displaystyle s=\frac{2}{3}$のとき，$t$と$\cos \theta$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．