「外接円」について
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公立 青森公立大学 2012年 第1問次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．
(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．
(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．
国立 千葉大学 2011年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{4}$，外接円の半径は$1$，$\angle \mathrm{BAC} = 60^\circ,\ \mathrm{AB} > \mathrm{AC}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さを求めよ．
国立 金沢大学 2011年 第1問座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$をとる．また，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$ \\
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
\img{355_1273_2011_1}{28}
(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
\img{355_1273_2011_1}{28}
(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．
国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 岐阜大学 2011年 第4問空間内の四面体OABCについて，$\angle \text{OAC}=\angle \text{OAB}=90^\circ,\ \angle \text{BOC}=\alpha,\ \angle \text{COA}=\beta,\ \angle \text{AOB}=\gamma,\ \text{OA}=1$とする．ただし，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$はすべて鋭角で，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{4},\ \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}},\ \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$である．三角形ABCの外接円を$S$とし，その中心をPとする．以下の問に答えよ．
(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．
(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．
国立 旭川医科大学 2011年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の$2$等辺三角形とする．$\mathrm{D}$を辺$\mathrm{BC}$上の点とし，$\mathrm{AD}$の延長線が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{BP}}+\frac{1}{\mathrm{CP}}=\frac{1}{\mathrm{DP}}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．
(1)$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{BP}}+\frac{1}{\mathrm{CP}}=\frac{1}{\mathrm{DP}}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[ ]$に適当な答えを入れよ．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
私立 西南学院大学 2011年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，円に内接している．小さい方の弧$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$を，$\displaystyle \angle \mathrm{ABP}=\frac{\pi}{6}$となるようにとるとき，以下の問に答えよ．
(1)この外接円の面積は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]} \pi$である．
(2)線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，$\displaystyle \frac{[ノ]-\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，$\displaystyle \frac{[フ]+\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．
(1)この外接円の面積は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]} \pi$である．
(2)線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，$\displaystyle \frac{[ノ]-\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，$\displaystyle \frac{[フ]+\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．