鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$で面積が$3+\sqrt{3}$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]

(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[　]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[　]$の比に内分する．

(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[　]$であり，外接円の半径$R=[　]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[　]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[　]$である．

四角形$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの内角がいずれも${180}^\circ$より小さく，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AD}=1$を満たすとする．

(1)$\angle \mathrm{BAD}={60}^\circ$のとき，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値を求めよ．
(2)${90}^\circ \leqq \angle \mathrm{BAD}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}}{4}$のとき，$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円の半径を求めよ．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=5$の直角三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とする．下図のように，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$における円$\mathrm{O}$の接線と辺$\mathrm{AB}$の延長との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}=3$のとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\mathrm{AQ}$を求めなさい．
(2)$\mathrm{BQ}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{QR}$は$\mathrm{BR}$の何倍かを求めなさい．
(4)$\mathrm{BR}$を求めなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{CA}=\mathrm{CB}=3$，$\mathrm{AB}=4$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)$\cos \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ア]}{[イ]}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オカ]}$である．
(2)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[キ]$である．
(3)点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線$\ell$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とすると，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{CA}$に直交する直線と$\ell$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\frac{[コ]}{[サシ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．
次に，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすると，$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソタ]}$である．

$a$は正の実数で，点$\mathrm{A}(0,\ a)$，点$\mathrm{P}(-2,\ 0)$，点$\mathrm{Q}(2,\ 0)$を頂点とする三角形を考える．この三角形の外接円の中心座標は$[$5$]$，半径は$[$6$]$であり，$a=[$7$]$のとき，外接円の半径は最小値$[$8$]$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$を計算せよ．

(2)$x^3-x^2-4x+4$を因数分解せよ．
(3)$0^\circ<\theta<{60}^\circ$のとき，$\cos ({180}^\circ-\theta)$の値の範囲を求めよ．
(4)$\mathrm{BC}=3$，$\angle B={135}^\circ$である$\mathrm{ABC}$において，外接円の半径が$3$のとき，$\angle A$の大きさを求めよ．

直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=2$である．図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{B}$における接線上に$\mathrm{BD}=2 \sqrt{3}$となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\cos \angle \mathrm{CBD}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{CD}$の$\mathrm{C}$を越える延長と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち，点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\triangle \mathrm{BDE}$の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．

(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．

(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．

(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．

(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．

$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円において，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上にあり，$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$である．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$のとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．