$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{BC}=15,\ \mathrm{CA} = 4,\ \mathrm{AB} = 13$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\cos A$および$\sin A$
(2)外接円の半径
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積および内接円の半径

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6,\ A = 45^\circ,\ B = 75^\circ$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さおよび外接円の半径$R$を求めよ．

辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$のそれぞれの長さが，$2$，$6$，$6$となる三角形$\mathrm{ABC}$について考える．この三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$としたとき，$\displaystyle \frac{18r}{R}$の値を求めよ．

$\mathrm{AB}=x^2$，$\mathrm{BC}=x+2$，$\mathrm{CA}=2x^2-6x+9$の三角形$\mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$とする．

(1)$x$のとりうる値をすべて求めよ．
(2)それぞれの$x$の値について，$\cos A,\ \cos B,\ \cos C$を求めよ．
(3)それぞれの$x$の値について，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$ax^2+bx+2=0$の$2$つの解が$3$と$6$であるような定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の$2$次関数$y=-x^2+2ax-4a+1$の最大値が$0$以下となるような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表す．$B=30^\circ$，$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\frac{1}{2}$であり，この三角形の外接円の半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$A$と$C$を求めよ．またこのとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=x+2$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AD}=y$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,\ r_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{3}{2}$を満たしている．ただし，$x$と$y$は定数とし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．

角$\mathrm{C}$を直角とする直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{D}$，$\mathrm{H}$を次のようにとる．$\angle \mathrm{CHB}=90^\circ$とし，$\mathrm{D}$を$\mathrm{H}$に関し，$\mathrm{B}$と反対側に$\mathrm{DH}=2$とする．また，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{CD}$とし，$\angle \mathrm{CDH}=60^\circ$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\sin A$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ADC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10$，$\mathrm{BC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=[ア]$であり，$\triangle \mathrm{BCM}$の外接円の半径は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=[ウ]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$[エ]$である．
(3)$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=kx^3+3kx^2-9kx+3$の極大値は$[オ]$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$[カ]$である．
(4)円$C:x^2+(y-2)^2=1$と点$\mathrm{A}(2,\ 0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$[キ]$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$[ク]$である．
(5)$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)=\log_a (x^2-2x+3)$と，関数$g(x)=\log_2 (2x-1)^2$がある．このとき，$a=[ケ]$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$[コ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{4},\ \mathrm{AB}=6 \sqrt{2}$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -3)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 1,\ -1)$，$|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$は初項が$8$，公差が$14$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列とする．$a_1=2b_1$かつ$a_5=b_5$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の点$\mathrm{C}$における接線を$\ell$とする．$\ell$上に$\mathrm{C}$でない点$\mathrm{T}$を，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と反対の側にとる．$\angle \mathrm{ACT}=60^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{AC}$の長さと外接円の半径を求めよ．
(2)円弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{CD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．