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国立 奈良女子大学 2014年 第5問三角形$\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$かつ$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$である二等辺三角形とする．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{CDB}$が相似となるようにとる．三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，三角形$\mathrm{ADC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 3)$を直径の両端とする円がある．図のようにこの円と$x$軸との原点以外の交点を$\mathrm{B}$，線分$\mathrm{OA}$に関して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$を満たす点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CA}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
国立 長崎大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=6$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，その$x$座標を，それぞれ，$a,\ b,\ c$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．
直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．
(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．
(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．
直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．
(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．
私立 京都女子大学 2014年 第2問下の図において，点$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の外心である．点$\mathrm{D}$は$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{BC}$との交点，点$\mathrm{E}$は円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{AB}$との交点である．また，点$\mathrm{F}$は$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$を通る円$\mathrm{O}_2$と，辺$\mathrm{AC}$の延長との交点である．次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$は同一円周上にあることを証明せよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径を$R_1$，円$\mathrm{O}_2$の半径を$R_2$，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$を通る円の半径を$R_3$とおく．$R_1=R_2=R_3$を証明せよ．
（図は省略）
(1)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$は同一円周上にあることを証明せよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径を$R_1$，円$\mathrm{O}_2$の半径を$R_2$，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$を通る円の半径を$R_3$とおく．$R_1=R_2=R_3$を証明せよ．
私立 杏林大学 2014年 第3問$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
私立 北里大学 2014年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる数を求めよ．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi,\ \cos \alpha=\frac{3}{5},\ \sin \beta=\frac{12}{13}$を満たす$2$つの角$\alpha,\ \beta$を考える．このとき，$\sin 2\alpha=[ア]$，$\tan (\alpha-\beta)=[イ]$，$\sin (2\alpha+\beta)=[ウ]$となる．
(2)整式$P(x)$を$x^2-3x+2$で割ると$12x-5$余り，$x^2-x-2$で割ると$2x+15$余る．このとき，$P(x)$を$x-1$で割った余りは$[エ]$で，$x^2-1$で割った余りは$[オ]x+[カ]$である．
(3)$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$7$個の数字すべてを横$1$列に並べるとき，並べ方は全部で$[キ]$通りである．そのうち，両端の数字が$3$と$4$となる並べ方は$[ク]$通り，$3$より左側に$1$が$2$個あるような並べ方は$[ケ]$通りである．
(4)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\theta$は$[コ]$度で，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[サ]$である．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=[シ] \overrightarrow{b}+[ス] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[セ] \overrightarrow{b}+[ソ] \overrightarrow{c}$と表せる．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi,\ \cos \alpha=\frac{3}{5},\ \sin \beta=\frac{12}{13}$を満たす$2$つの角$\alpha,\ \beta$を考える．このとき，$\sin 2\alpha=[ア]$，$\tan (\alpha-\beta)=[イ]$，$\sin (2\alpha+\beta)=[ウ]$となる．
(2)整式$P(x)$を$x^2-3x+2$で割ると$12x-5$余り，$x^2-x-2$で割ると$2x+15$余る．このとき，$P(x)$を$x-1$で割った余りは$[エ]$で，$x^2-1$で割った余りは$[オ]x+[カ]$である．
(3)$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$7$個の数字すべてを横$1$列に並べるとき，並べ方は全部で$[キ]$通りである．そのうち，両端の数字が$3$と$4$となる並べ方は$[ク]$通り，$3$より左側に$1$が$2$個あるような並べ方は$[ケ]$通りである．
(4)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\theta$は$[コ]$度で，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[サ]$である．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=[シ] \overrightarrow{b}+[ス] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[セ] \overrightarrow{b}+[ソ] \overrightarrow{c}$と表せる．
公立 奈良県立医科大学 2014年 第15問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外心であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$r$であるとする．このとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
公立 福岡女子大学 2014年 第4問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{R}$，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{H}$は，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=2 \overrightarrow{\mathrm{RM}}$を満たす点である．下図を参考にして以下の問に答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{RC}}$となることを示しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$が直交することを示しなさい．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{RC}}$となることを示しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$が直交することを示しなさい．
（図は省略）
公立 岩手県立大学 2014年 第4問以下の問いに答えなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．