次の空欄$[$1$]$～$[$24$]$にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄$[$21$]$には，$+$または$-$の記号が入る．

(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．

(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．

$xy$平面上に中心$(1,\ 0)$，半径$2$の円$C$がある．円$C$と$y$軸との交点のうち，$y$座標が負である点を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

$m>0$，$n>0$，$0<x<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AQ}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{S}$，線分$\mathrm{BP}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{T}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$m,\ n,\ x$で表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$が一直線上にあるとき，$x$を$m,\ n$で表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分は，$a+d-1=ad-bc$を満たすとする．また，数列$x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$と$y_0,\ y_1,\ y_2,\ \cdots$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．座標平面上の点$(x_n,\ y_n)$を$\mathrm{P}_n$と表し，$\mathrm{O}$は原点とする．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$は同一直線上にはないと仮定し，$g=ad-bc$とおく．
以下の$[　]$にあてはまるものを，$g,\ n$を用いて表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2=([え]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+([お]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$である．
(2)$g \neq 1$のとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}_n=\frac{[か]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\frac{[き]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$|g|<1$のとき
\[ \begin{array}{l}
\lim_{n \to \infty}x_n=[く]x_1+[け]x_0 \\
\lim_{n \to \infty}y_n=[く]y_1+[け]y_0
\end{array} \]
である．
(4)$0<g<1$とする．点$\displaystyle \left( \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n \right)$は線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$を$[こ]:1$に外分する．

次の各設問の$[1]$から$[9]$までの空欄にあてはまる数値を入れよ．

(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．

円$\mathrm{O}:x^2+y^2=25$の上の$2$点$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(-3,\ 4)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$1:t (t>0)$に外分する点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{B}$における円$\mathrm{O}$の接線と点$\mathrm{C}$との距離が$12$であるとき，$t$の値を求めよ．

次の（ \quad ）を埋めよ．

(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた$3$桁の整数が$4$の倍数になる確率は$( ① )$となる．
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$を計算すると$( ② )$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺がそれぞれ$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=17$，$\mathrm{CA}=10$とするときこの三角形の面積は$( ③ )$である．
(4)$(a+b)^{12}$を展開したとき$a^7 b^5$の係数は$( ④ )$である．
(5)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$7:5$に外分するとき$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=( ⑤ )$である．

$[タ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

一辺の長さが$2$である正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{a}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=k$より，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k \overrightarrow{a}+[ア] \overrightarrow{d} \]
が成り立つ．また，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[イ] \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{d} \]
と表せる．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=k$より，
\[ k=[ウ]+\sqrt{[エ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\frac{[オ]-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
となる．
また，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left( [ク]+\sqrt{[ケ]} \right) \overrightarrow{a} \]
であり，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$2:[コ]+\sqrt{[サ]}$に外分する．
(3)正五角形$\mathrm{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると，
\[ \alpha^2=[シ]+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]} \]
である．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$t \overrightarrow{\mathrm{OA}} (t \geqq 0)$を始線としたとき，極座標$(r,\ \theta)$を用いて直線$\mathrm{AD}$の極方程式は$r=[タ]$と表わされる．

$[タ]$の解答群
\setstretch{2.5}
\[ \begin{array}{lll}
① 2 \cos \theta+\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ② 2 \cos \theta-\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ③ 2 \cos \theta+2\alpha \sin \theta \\
④ 2 \cos \theta-2 \alpha \sin \theta & ⑤ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta+\sin \theta} & ⑥ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta-\sin \theta} \\
④chi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta+\alpha \sin \theta} & \maruhachi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta-\alpha \sin \theta} &
\end{array} \]
\setstretch{1.4}

平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をO，線分ABを$1:4$に外分する点をCとする．Pを直線AB上にない点とし，$\overrightarrow{\mathrm{PO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$が垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|$で表せ．
(3)$\text{PA}=1,\ \triangle \text{PAB}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$のとき，PBの長さを求めよ．