「変曲点」について
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国立 信州大学 2012年 第2問$\displaystyle f(x) = \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+1}}$について，次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 横浜国立大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+\sin x}{1+\cos x}\, dx$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+\sin x}{1+\cos x}\, dx$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．
国立 広島大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2012年 第1問3次関数
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 東京学芸大学 2012年 第3問関数$f(x)=(x^2+\alpha x+\beta)e^{-x}$について，下の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は定数とする．
(1)$f^\prime(x)$および$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=1$で極値をとるための$\alpha,\ \beta$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=1$で極値をとり，さらに点$(4,\ f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha,\ \beta$の値を定め，関数$y=f(x)$の極値と，その曲線の変曲点をすべて求めよ．
(1)$f^\prime(x)$および$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=1$で極値をとるための$\alpha,\ \beta$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=1$で極値をとり，さらに点$(4,\ f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha,\ \beta$の値を定め，関数$y=f(x)$の極値と，その曲線の変曲点をすべて求めよ．
国立 室蘭工業大学 2012年 第2問$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され，条件
\[ f^\prime(x)=\frac{2a}{x(2-x)}+b,\quad f^\prime \left( \frac{1}{2} \right)=9,\quad f^\prime(1)=7,\quad f(1)=1 \]
を満たすとする．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
\[ f^\prime(x)=\frac{2a}{x(2-x)}+b,\quad f^\prime \left( \frac{1}{2} \right)=9,\quad f^\prime(1)=7,\quad f(1)=1 \]
を満たすとする．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
国立 電気通信大学 2012年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
国立 長崎大学 2012年 第5問関数$f(x)=xe^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x^2}=0,\ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}=0$を用いてよい．
(2)$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$t>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$S(t)$について，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}S(t)$を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x^2}=0,\ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}=0$を用いてよい．
(2)$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$t>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$S(t)$について，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}S(t)$を求めよ．
国立 宮城教育大学 2012年 第4問関数$f(x)=2 \sin x-x \cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．
私立 明治大学 2012年 第2問次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，$e$は自然対数の底である．必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0.\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}=0$を用いてもよい．
関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．
(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．
関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．
(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．