「変曲点」について
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私立 東京都市大学 2015年 第4問関数$f(x)=e^{-x^4}$について次の問に答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 x^3f(x) \, dx$の値を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 x^3f(x) \, dx$の値を求めよ．
公立 富山県立大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$\alpha,\ \beta$は定数で，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，定積分$\displaystyle \int_{\tan \alpha}^{\tan \beta} f(x) \, dx$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{3+4 \cos^2 t} \, dt$を求めよ．
(1)$y=f(x)$の極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$\alpha,\ \beta$は定数で，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，定積分$\displaystyle \int_{\tan \alpha}^{\tan \beta} f(x) \, dx$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{3+4 \cos^2 t} \, dt$を求めよ．
公立 広島市立大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
公立 会津大学 2015年 第5問関数$y=xe^{-x}$のグラフを$C$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=xe^{-x}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてもよい．
(2)$C$の変曲点における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=xe^{-x}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてもよい．
(2)$C$の変曲点における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 金沢大学 2014年 第2問関数$\displaystyle y=\frac{1}{e^x+e^{-x}}$のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．
(1)$C$の変曲点のうち，$x$座標が最大となる点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$とするとき，
\[ \tan \theta=e^b \]
をみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$\tan 2\theta$および$\theta$の値を求めよ．
(3)上の$b$に対する直線$x=b$と$x$軸，$y$軸および$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C$の変曲点のうち，$x$座標が最大となる点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$とするとき，
\[ \tan \theta=e^b \]
をみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$\tan 2\theta$および$\theta$の値を求めよ．
(3)上の$b$に対する直線$x=b$と$x$軸，$y$軸および$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 山梨大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=e^{1+\sin^2 x}$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)条件$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．
(1)関数$f(x)=e^{1+\sin^2 x}$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)条件$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．
国立 大阪教育大学 2014年 第3問曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+3}$を$C$とし，座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．
(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第4問関数$f(x)=e^{\sqrt{2} \sin x}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第5問関数
\[ f(x)=\int_a^x \left( a+1-|t| \right) e^{-t} \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \geqq 0$と$x \leqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の極値と変曲点を求めよ．
(3)$x \geqq 1$のとき，$e^x>x^2$となることを示せ．また，$\displaystyle g(x)=\int_a^x f(t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=\int_0^a |f(x)| \, dx$をみたす$a$の値を求めよ．
\[ f(x)=\int_a^x \left( a+1-|t| \right) e^{-t} \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \geqq 0$と$x \leqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の極値と変曲点を求めよ．
(3)$x \geqq 1$のとき，$e^x>x^2$となることを示せ．また，$\displaystyle g(x)=\int_a^x f(t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=\int_0^a |f(x)| \, dx$をみたす$a$の値を求めよ．
国立 浜松医科大学 2014年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．