銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．

このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．

(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．

$x$と$y$を変数とする関数$f(x,\ y)=9^{x+1}3^y+3^{2x-y}+3^{y+3}9^{-x}+3^{1-2x-y}$は$\displaystyle (x,\ y)=\left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウエ] \right)$のとき，最小値$[オカ] \sqrt{[キ]}$をとる．

$a>0$，$a \neq 1$，$b>0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=4x^2+4x \log_ab+1 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$f(x)=0$が重解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(2)$2$次方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$の範囲内にただ$1$つの解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(3)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$(X,\ Y)$とする．点$(a,\ b)$が$(2)$の条件を満たしながら動くとき，点$(X,\ Y)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

$x,\ y$は正の値をとる変数で，$x+y=a$（$a$は定数）を満たす．$\displaystyle z=\log_2 \frac{1}{x}+\log_\frac{1}{2}y$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$z$を$x$と$y$の積$xy$を用いて表せ．
(2)$z$の最小値を$a$を用いて表せ．
(3)$x+y=a$を満たす全ての正の数$x,\ y$に対して，$z>0$であるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

座標平面において$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$K$とする．次の問いに答えよ．

(1)円$K$が直線$y=x-2$と接するときの$a$の値を求めよ．
(2)$t$を変数とする関数を，$\displaystyle F(t)=\int_t^1 \sqrt{1-x^2} \, dx (-1 \leqq t \leqq 1)$とする．$0 \leqq a<1$のとき，円$K$の内部と領域$x \leqq 0$の共通部分の面積を関数$F(t)$を用いて表せ．
(3)領域$D=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq x-2 \}$とする．円$K$の内部と領域$D$との共通部分の面積が最大となるときの$a$の値を求めよ．

関数$f(x)$を以下のように定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-3x & (x \leqq 0) \\
x^2+3x & (0<x)
\end{array} \right. \]
このときの定積分$\displaystyle S(t)=\int_{t-1}^t f(x) \, dx$に関して，以下の問に答えよ．

(1)$S(0)$の値を求めよ．
(2)変数$t$が以下の範囲にあるときの$S(t)$を，それぞれ求めよ．
$① t<0$ \qquad $② 0 \leqq t<1$ \qquad $③ 1 \leqq t$
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値と，$S(t)$の最小値を求めよ．

$t$の関数$f(t)$を
\[ f(t)=-\frac{1}{2}(\log_2 t)^3+21(\log_4 t)^2-9 \log_4 t^2+1 \]
とおく．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)$x=\log_2 t$とおくとき，
\[ f(t)=-\frac{[ア]}{[イ]}x^3+\frac{[ウエ]}{[オ]}x^2-[カ]x+1 \]
である．
(2)変数$t$が$1 \leqq t \leqq 256$の範囲を動くとき，$f(t)$は$t=[キク]$のとき最大値$[ケコ]$をとり，$t=[サ]$のとき最小値$\displaystyle -\frac{[シス]}{[セ]}$をとる．

実数の変数$x,\ y$の間に$x^2+y^2=18$の関係があるとき，関数$(x+y)^2-6(x+y)+12$の最大値，最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

次の問に答えなさい．

(1)$2$つの変数$x,\ y$をもつ関数$f(x,\ y)$を$\displaystyle f(x,\ y)=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y|}{2}$と定める．$x,\ y$が実数の値であるとき，$f(x,\ y)=x$は$x \geqq y$であるための必要十分条件であることを示しなさい．
(2)方程式$x^2+y^2-1+|x^2+y^2-1|=0$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を図示しなさい．

$f(x)$を変数$x$の$2$次関数，$F(x)$を$f(x)$の原始関数とする（つまり$F^\prime(x)=f(x)$である）．また$f(x)$と$F(x)$は次の関係を満たすとする．
\[ 3xF(x)-f(x)^2=x^3-7x^2-12x-9 \]
このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の値が最小となる実数$a$と，そのときの定積分の値を求めなさい．