$m$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ m)$がある．このとき$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を，$\triangle \mathrm{OPQ}$，$\triangle \mathrm{OPR}$がともに正三角形となるように定めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の$y>mx$となる領域に，点$\mathrm{R}$は$xy$平面上の$y<mx$となる領域に定めよ．
(2)$(1)$で定めた$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，一次変換$f$は点$\mathrm{P}$を同じ点$\mathrm{P}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移すものとする．この一次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．

自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．

(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$X_5$と$Y_5$の共通部分$X_5 \cap Y_5$の点の個数を求めよ．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．

(1)$p,\ q$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1 & 2n \\
0 & 1
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1+2n & -2n \\
2n & 1-2n
\end{array} \right)$を示せ．
(4)行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．

自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．

自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．$X_n$と$Y_n$の共通部分$X_n \cap Y_n$の点の個数を$a_n$とする．

(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$a_5$を求めよ．
(3)自然数$m$について，$a_{6m}$を$m$を用いて表せ．

自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．

行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

$xy$平面において，点$(2,\ 0)$を点$(1,\ \sqrt{3})$へ，点$(1,\ \sqrt{3})$を点$(-1,\ \sqrt{3})$へ移す$1$次変換$f$を表す行列を$A$とする．$\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とし，$B$が表す$1$次変換を$g$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^3$を求めよ．
(2)$A^6$が表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移る点の座標を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$を表す行列を$C$とするとき，$C^n=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$となる最小の自然数$n$の値を求めよ．

$2$次正方行列$A_0,\ B$を
\[ A_0=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
とおく．$2$次正方行列$A_1,\ A_2,\ \cdots$を$A_{n+1}=BA_n+A_0 (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$で定める．

(1)$A=BA+A_0$を満たす$2$次正方行列$A$を求めよ．
(2)$B^2,\ B^3$を求めよ．
(3)$A_{15}$の表す$1$次変換を$f$とし，点$\mathrm{P}(-2t+3,\ t)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．$t$が実数全体を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．