座標平面上の点の移動について考える．

(1)直線$y=ax$に関する対称移動の$1$次変換$g$を表す行列は
\[ \frac{1}{[　]+a^2} \left( \begin{array}{cc}
[$*$]-a^2 \phantom{\frac{1}{2}} & [$**$]a \\
[$**$]a \phantom{\frac{1}{2}} & -([$*$]-a^2)
\end{array} \right) \]
である．
(2)$x$軸に関する対称移動の$1$次変換$h$を表す行列は$\left( \begin{array}{cc}
[　] & 0 \\
0 & [　]
\end{array} \right)$である．
(3)原点のまわりに角$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転する$1$次変換を$f$とするとき，$f=g \circ h$ならば，$\displaystyle a=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．ここで，$g$と$h$はそれぞれ$(1)$，$(2)$の$1$次変換である．

$p \neq 0$として，$xy$座標平面上の直線$\ell$を$\ell:y=mx+p$，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．このとき下記の問いに答えなさい．

(1)$f$により，直線$\ell$上の各点がすべて直線$\ell$上の点に移る場合，$c,\ d$を$m,\ a,\ b$を用いて表すと，$c=[$1$]$，$d=[$2$]$となる．
(2)上問$(1)$で$m=-1$，$a=2$，$b \neq 1$とする．$f$により，直線$\ell$上の点$\mathrm{R}$が$\mathrm{R}$自身に移るとき，$\mathrm{R}$の座標を$b,\ p$を用いて表すと，$\mathrm{R}=([$3$],\ [$4$])$となる．

原点をOとする座標平面上に2点P$(a,\ c)$およびQ$(b,\ d)$をとり，$\triangle$OPQを考える．線分OPが$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は時計の針の回転と逆の向きを正とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a,\ c$の式で表せ．
(2)点Qを原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)$\triangle$OPQの面積を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(4)一次変換
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{2}+\sqrt{5} & 3 \\
1 & \sqrt{2}-\sqrt{5}
\end{array} \biggr) \]
によって，点P，Qがそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移されるものとする．$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積は$\triangle$OPQの何倍か．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．

2次の正方行列$A$の表す1次変換を$f$とする．(すなわち，行列$A$で表される座標平面上の点の移動を$f$とする．) \ $f$により，点$(1,\ 1)$は点$(2,\ 2)$に移り，点$(1,\ -1)$は点$(-1,\ 1)$に移る．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$は点$\mathrm{Q}(0,\ -2)$に移され，$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{R}(1,\ 1)$に移されるとする．また，行列$B=k \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおくとき，$B^2$の表す$1$次変換によって$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}$に移されるとする．ただし，$k$は正の実数とし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．

(1)$A$を求めよ．
(2)$\theta,\ k$を求めよ．
(3)$AB^3$の表す$1$次変換による点$(0,\ 1)$の像を求めよ．

行列
$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
a & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$A$の逆行列を求めよ．
(2)$A$の表す1次変換によって，双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$上のある点が，点$(-1,\ 1)$に移されるとする．このとき，$a$の値を求めよ．