「変換」について
タグ「変換」の検索結果
（11ページ目：全117問中101問～110問を表示）
国立 埼玉大学 2010年 第1問行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第1問行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第1問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す1次変換$f$によって，点P$_1(1,\ 0)$が点P$_2(0,\ 3)$に移され，点P$_2$が点P$_3$に，点P$_3$が点P$_1(1,\ 0)$にそれぞれ移されるとする．次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数である．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(3)O$(0,\ 0)$とする．点P$(\cos \theta,\ \sin \theta)$が$f$によって点Qに移されるとする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとり得る値の範囲を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す1次変換$f$によって，点P$_1(1,\ 0)$が点P$_2(0,\ 3)$に移され，点P$_2$が点P$_3$に，点P$_3$が点P$_1(1,\ 0)$にそれぞれ移されるとする．次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数である．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(3)O$(0,\ 0)$とする．点P$(\cos \theta,\ \sin \theta)$が$f$によって点Qに移されるとする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとり得る値の範囲を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第2問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．
(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．
(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．
国立 山口大学 2010年 第3問$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$，$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし，$f$を行列
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．
国立 佐賀大学 2010年 第2問座標平面上で，直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって，点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする．ただし，$m$は0でない定数とし，点Pは$\ell$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．
(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第1問行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a-b & a \\
2a & a+b
\end{array} \right) \]
の定める移動(1次変換)
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$f$とし，原点を通る2直線を$\ell_1:y=m_1x,\ \ell_2:y=m_2x$とする$(m_1<m_2)$．次に答えよ．
(1)$f$により，直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り，直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする．$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$a>0$とする．
(2)実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)(1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a-b & a \\
2a & a+b
\end{array} \right) \]
の定める移動(1次変換)
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$f$とし，原点を通る2直線を$\ell_1:y=m_1x,\ \ell_2:y=m_2x$とする$(m_1<m_2)$．次に答えよ．
(1)$f$により，直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り，直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする．$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$a>0$とする．
(2)実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)(1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第4問$p$を0でない実数とし，行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]
(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]
(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第5問2次の正方行列$A,\ B$について，次の各問いに答えよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．
私立 日本女子大学 2010年 第1問行列$P$で表される$1$次変換によって平面上の点$(-2,\ 1)$と点$(1,\ 1)$が，それぞれ点$(-1,\ 3)$，点$(2,\ 6)$に移る．
(1)$P$を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
a & b \\
-5 & 8
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & d
\end{array} \right) \]
が
\[ AP=PB \]
を満たしているとする．このとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)$P$が逆行列$P^{-1}$をもつことを示し，$(PBP^{-1})^2$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(1)$P$を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
a & b \\
-5 & 8
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & d
\end{array} \right) \]
が
\[ AP=PB \]
を満たしているとする．このとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)$P$が逆行列$P^{-1}$をもつことを示し，$(PBP^{-1})^2$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．