$n$は$2$以上の自然数とし，
\[ f(\theta)=\frac{\cos^{n-1}\theta \sin^{n-1}\theta}{\cos^{2n}\theta+\sin^{2n}\theta} \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)$t=\tan^n \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{\cos \theta \sin \theta}{\cos^4 \theta+\sin^4 \theta}$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=\tan^2 \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$ \ $a>0$，$a \neq 1$，$M>0$である実数$a,\ M$に対し，$a$を底とする$M$の対数$\log_a M$の定義を述べよ．
$(ⅱ)$ $a>0$，$b>0$，$c>0$，$a \neq 1$，$c \neq 1$である実数$a,\ b,\ c$に対し，底の変換公式
\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \]
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数$x$の自然対数$\log x$は
\[ \log x=\int_1^x \frac{1}{t} \, dt \]
と表される．これを用いて，正の実数$x,\ y$に対し
\[ \log (xy)=\log x+\log y \]
が成り立つことを示せ．

（選択）行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \]
とする．次の問いに答えよ．

\mon[$(1)$] 行列$A$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_1$に移すとする．$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
\mon[$(2)$] 次の等式が成立する実数$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
k \\
kt
\end{array} \right) \]
\mon[$(3)$] $A^2$を求めよ．
\mon[$(4)$] 行列$A^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_n$に移すとする．$\mathrm{P}_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を求めよ．

不等式$1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4$が表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$\mathrm{P}$を円$x^2+y^2=1$上の点，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を円$x^2+y^2=4$上の異なる$2$点とし，三角形$\mathrm{PQR}$は領域$D$に含まれているとする．$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$は$\mathrm{R}^\prime$に移されるとする．このとき，三角形$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が領域$D$に含まれるための$a,\ b$の必要十分条件を求めよ．ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする．

$a,\ b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され，点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると，
\[ A \left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right) \]
が成り立つ．$c$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して
\[ A^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(4)$(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め，$A^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

$1$個のさいころを投げて，出た目が$1$か$2$であれば行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$3$か$4$であれば行列$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$5$か$6$であれば行列$C=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を選ぶ．そして，選んだ行列の表す$1$次変換によって$xy$平面上の点$\mathrm{R}$を移すという操作を行う．点$\mathrm{R}$は最初は点$(0,\ 1)$にあるものとし，さいころを投げて点$\mathrm{R}$を移す操作を$n$回続けて行ったときに点$\mathrm{R}$が点$(0,\ 1)$にある確率を$p_n$，点$(0,\ -1)$にある確率を$q_n$とする．

(1)$p_1,\ p_2$と$q_1$，$q_2$を求めよ．
(2)$p_n+q_n$と$p_{n-1}+q_{n-1}$の関係式を求めよ．また，$p_n-q_n$と$p_{n-1}-q_{n-1}$の関係式を求めよ．
(3)$p_n$を$n$を用いて表せ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]

$x_0=1$，$y_0=0$とする．$n$が自然数のとき，座標平面上の点$\mathrm{P}_{n-1}(x_{n-1},\ y_{n-1})$は行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$に移されるとする．点$\mathrm{P}_{n-1}$と点$\mathrm{P}_n$の距離を$l_n$とする．
（図は省略）

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_n$を$x_{n-1},\ y_{n-1}$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \frac{l_{n+1}}{l_n}$の値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$の和を求めよ．