「変化」について
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国立 京都大学 2011年 第3問実数$a$が変化するとき，$3$次関数$y=x^3-4x^2+6x$と直線$y=x+a$のグラフの交点の個数はどのように変化するか．$a$の値によって分類せよ．
国立 静岡大学 2011年 第3問実数$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{2}{3}$の範囲を変化するとき，2つの曲線
\[ C : y = -2x^2+3x,\quad C_t: y = |x^2-3tx| \]
で囲まれる図形の面積を$S(t)$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2曲線$C,\ C_t$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$を最大にする$t$の値を求めよ．
\[ C : y = -2x^2+3x,\quad C_t: y = |x^2-3tx| \]
で囲まれる図形の面積を$S(t)$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2曲線$C,\ C_t$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$を最大にする$t$の値を求めよ．
国立 滋賀大学 2011年 第4問$a$を定数とする．空間内の4点A$(1,\ 0,\ 3)$，B$(0,\ 4,\ -2)$，C$(4,\ -3,\ 0)$，D$(-7+5a,\ 14-8a,\ z)$が同じ平面上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1)$z$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の値を変化させたとき，点Dは直線AB上の点Pおよび直線AC上の点Qを通る．P，Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を$S_1$，$\triangle$APQの面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$z$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の値を変化させたとき，点Dは直線AB上の点Pおよび直線AC上の点Qを通る．P，Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を$S_1$，$\triangle$APQの面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第4問半径$a\;$cmの球$B$を，球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒$v\;$cmの速さで下の方向に動かし，水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく．球$B$を沈め始めてから$t$秒後までにあふれ出る水の体積を$V\;$cm$^3$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ v$は正の定数で，容器$Q$に球$B$を完全に水没させることができるとする．
(1)$V$を$a,\ v,\ t$の式で表せ．また変化率$\displaystyle \frac{dV}{dt}$が最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．
(2)容器$Q$は一辺の長さが$b$の正四面体から一面を取り除いた形をしており，開口した面は水平に保たれている．球$B$は完全に水面下に入った瞬間，水面と容器$Q$の3つの面に接するという．$b$を$a$で表せ．
(1)$V$を$a,\ v,\ t$の式で表せ．また変化率$\displaystyle \frac{dV}{dt}$が最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．
(2)容器$Q$は一辺の長さが$b$の正四面体から一面を取り除いた形をしており，開口した面は水平に保たれている．球$B$は完全に水面下に入った瞬間，水面と容器$Q$の3つの面に接するという．$b$を$a$で表せ．
国立 琉球大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x \sin 2x \, dx$を求めよ．
(2)$m,\ n$が自然数のとき，定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx$を求めよ．
(3)$a,\ b$を実数とする．$a,\ b$の値を変化させたときの定積分$\displaystyle I=\int_{-\pi}^\pi (x-a \sin x-b \sin 2x)^2 \, dx$の最小値，およびそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x \sin 2x \, dx$を求めよ．
(2)$m,\ n$が自然数のとき，定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx$を求めよ．
(3)$a,\ b$を実数とする．$a,\ b$の値を変化させたときの定積分$\displaystyle I=\int_{-\pi}^\pi (x-a \sin x-b \sin 2x)^2 \, dx$の最小値，およびそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
国立 山口大学 2011年 第3問$k$を正の実数とする．点$(3k,\ 4k)$を中心とする半径$5k+1$の円を$C_k$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)円$C_k$が原点を通るかどうかを答えなさい．
(2)$k$がすべての正の実数値をとって変化するとき，円$C_k$の動く範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．
(1)円$C_k$が原点を通るかどうかを答えなさい．
(2)$k$がすべての正の実数値をとって変化するとき，円$C_k$の動く範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．
国立 茨城大学 2011年 第3問点Aを$(-2,\ 0)$，点Eを$(2,\ 0)$とする．3つの点B，C，Dは，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DE}$を満たし，かつ，直線ABと直線CDが直角に交わり，直線BCと直線DEが直角に交わる．点B，C，Dの位置を調べるために，$\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$となるような点Sをとる．点Sの$y$座標を$s$とする．以下の各問に答えよ．
(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点Bの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点Dの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Dが描く図形は何か．
(4)(2)かつ(3)の場合に点Cの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Cが描く図形は何か．
(5)(2)かつ(3)の場合で，5つの点A，B，C，D，Eが同一円周上ににあるような点B，C，Dの位置の組み合わせをすべて求めよ．
(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点Bの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点Dの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Dが描く図形は何か．
(4)(2)かつ(3)の場合に点Cの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Cが描く図形は何か．
(5)(2)かつ(3)の場合で，5つの点A，B，C，D，Eが同一円周上ににあるような点B，C，Dの位置の組み合わせをすべて求めよ．
国立 浜松医科大学 2011年 第2問医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売する者の立場から，動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を題材にして，以下の問題を考察する．
(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．
私立 立教大学 2011年 第3問座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$0$以上の実数$t$に対して，$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$，$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．
私立 中部大学 2011年 第2問$0<\theta<\pi$における関数$y=\sin^2 \theta+\cos \theta$の最大値を考える．
(1)$t=\cos \theta$としたとき，$y$を$t$の式で表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を示せ．
(2)$(1)$で示した範囲を$t$が変化するとき，$y$の最大値と，最大値を与える$\theta$の値を求めよ．
(1)$t=\cos \theta$としたとき，$y$を$t$の式で表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を示せ．
(2)$(1)$で示した範囲を$t$が変化するとき，$y$の最大値と，最大値を与える$\theta$の値を求めよ．