「変化」について
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国立 東北大学 2014年 第4問実数$x,\ y$に対して
\[ A=2 \sin x+\sin y,\quad B=2 \cos x+\cos y \]
とおく．
(1)$\cos (x-y)$を$A,\ B$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$が$A=1$を満たしながら変化するとき，$B$の最大値と最小値，およびそのときの$\sin x$，$\cos x$の値を求めよ．
\[ A=2 \sin x+\sin y,\quad B=2 \cos x+\cos y \]
とおく．
(1)$\cos (x-y)$を$A,\ B$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$が$A=1$を満たしながら変化するとき，$B$の最大値と最小値，およびそのときの$\sin x$，$\cos x$の値を求めよ．
国立 滋賀大学 2014年 第1問$m$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$をとる．ただし，$\displaystyle \frac{m}{2}<a<m$とする．$\mathrm{P}$を通り傾きが$m$の直線を$\ell_1$，$\mathrm{P}$を通り傾きが$2m$の直線を$\ell_2$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$C$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．
(3)$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．
(1)$C$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．
(3)$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．
国立 岐阜大学 2014年 第1問$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
国立 岐阜大学 2014年 第1問$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第5問白球$6$個と黒球$4$個がある．はじめに，白球$6$個を横$1$列に並べる．次に，
$1$から$6$の目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを$1$つ投げて，出た目の数が$a$であれば，並んでいる球の左から$a$番目の球の左に黒球を$1$個入れる
という操作を$4$回繰り返す．例えば，
$1$回目に$1$の目，$2$回目に$5$の目，$3$回目に$5$の目，$4$回目に$2$の目
が出た場合の球の並びの変化は下の図のようになる．
（図は省略）
最終的な$10$個の球の並びにおいて，一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を$k$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=0$である確率を求めよ．
(2)$k=1$である確率を求めよ．
(3)$k$の期待値を求めよ．
$1$から$6$の目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを$1$つ投げて，出た目の数が$a$であれば，並んでいる球の左から$a$番目の球の左に黒球を$1$個入れる
という操作を$4$回繰り返す．例えば，
$1$回目に$1$の目，$2$回目に$5$の目，$3$回目に$5$の目，$4$回目に$2$の目
が出た場合の球の並びの変化は下の図のようになる．
（図は省略）
最終的な$10$個の球の並びにおいて，一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を$k$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=0$である確率を求めよ．
(2)$k=1$である確率を求めよ．
(3)$k$の期待値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{BAC}=2\theta$とする．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$の半径を$R_1(\theta)$とする．$R_1(\theta)$を$\theta$の式で表すと$R_1(\theta)=[あ]$である．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_1(\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_1$とすると
\[ \sum_{k=1}^\infty \sin^k \theta_1=[い] \]
が成り立つ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内側に次のように円$C_2$，$C_3$，$\cdots$，$C_n$，$\cdots$を作る．円$C_1$の外側にあって円$C_1$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_2$とし，円$C_1$，$C_2$の外側にあって円$C_2$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_3$とする．以下同様に自然数$n \geqq 2$に対して，円$C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_{n-1}$の外側にあって円$C_{n-1}$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_n$とする．$C_n$の半径$R_n(\theta)$を$\theta$と$n$の式で表すと$R_n(\theta)=[う]$である．
(3)$x$の$2$次式$g_n(x)=[え]$に対して
\[ \frac{d}{d\theta}\log R_n(\theta)=-\frac{g_n(\sin \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \]
が成り立つ．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_n (\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_n$とすると$\sin \theta_n=[お]$である．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \theta_n=[か]$である．このことから，$\theta=\theta_n$のときの円$C_n$の面積$S_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2S_n=[き]$が成り立つ．
三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{BAC}=2\theta$とする．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$の半径を$R_1(\theta)$とする．$R_1(\theta)$を$\theta$の式で表すと$R_1(\theta)=[あ]$である．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_1(\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_1$とすると
\[ \sum_{k=1}^\infty \sin^k \theta_1=[い] \]
が成り立つ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内側に次のように円$C_2$，$C_3$，$\cdots$，$C_n$，$\cdots$を作る．円$C_1$の外側にあって円$C_1$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_2$とし，円$C_1$，$C_2$の外側にあって円$C_2$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_3$とする．以下同様に自然数$n \geqq 2$に対して，円$C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_{n-1}$の外側にあって円$C_{n-1}$および辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_n$とする．$C_n$の半径$R_n(\theta)$を$\theta$と$n$の式で表すと$R_n(\theta)=[う]$である．
(3)$x$の$2$次式$g_n(x)=[え]$に対して
\[ \frac{d}{d\theta}\log R_n(\theta)=-\frac{g_n(\sin \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \]
が成り立つ．また$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で変化させるときに$R_n (\theta)$が最大値をとるような$\theta$の値を$\theta_n$とすると$\sin \theta_n=[お]$である．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \theta_n=[か]$である．このことから，$\theta=\theta_n$のときの円$C_n$の面積$S_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2S_n=[き]$が成り立つ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は，$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，
(i) $b$を$a$の式で表すと，$b=[$1$]a-[$2$]$である．
(ii) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．
(2)実数$a$についての方程式
\[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \]
において，$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である．ただし，$k$は正の実数の定数とする．このとき，
(i) $\displaystyle k=\frac{[$5$]}{[$6$]}$である．
(ii) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{[$7$]}{[$8$]}$であり，このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{[$9$][$10$]}{[$11$]}$である．
(3)$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=5$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす．このとき，
(i) $a_3=[$12$][$13$]$，$\displaystyle a_4=\frac{[$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(ii) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと，
\[ b_n=\frac{\left( [$17$][$18$] \right)^{n-1}}{[$19$]}+\frac{[$20$]}{[$21$]} \]
である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$，$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$，$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である．また$2$直線$\mathrm{BA}$，$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$，$2$直線$\mathrm{DA}$，$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$，$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である．このとき，
(i) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${[$22$][$23$]}^\circ$であり，辺$\mathrm{EB}$の長さは$[$24$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は，三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{[$25$]-\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$倍である．
(5)$xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする．放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$，$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る．ただし，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする．このとき，
(i) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標は
\[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( [$28$][$29$],\ [$30$] \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( [$31$],\ [$32$][$33$] \right) \]
である．
(ii) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき，距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$34$][$35$]}{[$36$]},\ \frac{[$37$][$38$]}{[$39$]} \right)$である．
(1)実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は，$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，
(i) $b$を$a$の式で表すと，$b=[$1$]a-[$2$]$である．
(ii) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．
(2)実数$a$についての方程式
\[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \]
において，$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である．ただし，$k$は正の実数の定数とする．このとき，
(i) $\displaystyle k=\frac{[$5$]}{[$6$]}$である．
(ii) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{[$7$]}{[$8$]}$であり，このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{[$9$][$10$]}{[$11$]}$である．
(3)$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=5$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす．このとき，
(i) $a_3=[$12$][$13$]$，$\displaystyle a_4=\frac{[$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(ii) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと，
\[ b_n=\frac{\left( [$17$][$18$] \right)^{n-1}}{[$19$]}+\frac{[$20$]}{[$21$]} \]
である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$，$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$，$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である．また$2$直線$\mathrm{BA}$，$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$，$2$直線$\mathrm{DA}$，$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$，$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である．このとき，
(i) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${[$22$][$23$]}^\circ$であり，辺$\mathrm{EB}$の長さは$[$24$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は，三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{[$25$]-\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$倍である．
(5)$xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする．放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$，$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る．ただし，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする．このとき，
(i) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標は
\[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( [$28$][$29$],\ [$30$] \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( [$31$],\ [$32$][$33$] \right) \]
である．
(ii) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき，距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$34$][$35$]}{[$36$]},\ \frac{[$37$][$38$]}{[$39$]} \right)$である．
私立 千葉工業大学 2014年 第4問$xy$平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2+4$と点$\mathrm{P}(p,\ 0)$がある．ただし，$p \geqq 0$とする．$C$上の点$\displaystyle \left( p,\ \frac{1}{4}p^2+4 \right)$における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$に関して，$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=0$のとき，$\mathrm{Q}(0,\ [ア])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{p}{[イ]}x-\frac{[ウ]}{[エ]}p^2+[オ]$である．線分$\mathrm{PQ}$の中点が$\ell$上にあることから
\[ Y=\frac{p}{[カ]}X+[キ] \cdots\cdots (*) \]
が成り立つ．
(3)$p>0$のとき，$\mathrm{Q}$が，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線上にあることから
\[ Y=\frac{[クケ]}{p}X+[コ] \cdots\cdots (**) \]
が成り立つ．$(*)$と$(**)$から$p$を消去することにより
\[ X^2+Y^2-[サシ]Y+[スセ]=0 \]
が成り立つことがわかる．
(4)$X$の最小値は$[ソタ]$であり，このとき$p=[チ]$である．$p$が$0$から$[チ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi+\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．
(1)$p=0$のとき，$\mathrm{Q}(0,\ [ア])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{p}{[イ]}x-\frac{[ウ]}{[エ]}p^2+[オ]$である．線分$\mathrm{PQ}$の中点が$\ell$上にあることから
\[ Y=\frac{p}{[カ]}X+[キ] \cdots\cdots (*) \]
が成り立つ．
(3)$p>0$のとき，$\mathrm{Q}$が，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線上にあることから
\[ Y=\frac{[クケ]}{p}X+[コ] \cdots\cdots (**) \]
が成り立つ．$(*)$と$(**)$から$p$を消去することにより
\[ X^2+Y^2-[サシ]Y+[スセ]=0 \]
が成り立つことがわかる．
(4)$X$の最小値は$[ソタ]$であり，このとき$p=[チ]$である．$p$が$0$から$[チ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi+\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．
私立 北里大学 2014年 第3問次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし，曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える．接点の$x$座標を$\alpha$とすると，接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$，接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから，接線の方程式は，
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される．この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす．この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し，傾きが正である接線の方程式は，
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される．
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は，両者が$x=\alpha$で接しているので，
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける．これを用いると，曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は，
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である．$p$を変化させるとき，$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる．
曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし，曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える．接点の$x$座標を$\alpha$とすると，接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$，接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから，接線の方程式は，
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される．この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす．この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し，傾きが正である接線の方程式は，
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される．
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は，両者が$x=\alpha$で接しているので，
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける．これを用いると，曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は，
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である．$p$を変化させるとき，$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる．
国立 高知大学 2013年 第1問座標平面において，点$(0,\ 5)$を通り，直線$y=x$と点$(a,\ a)$で接する円$C$について，次の問いに答えよ．
(1)点$(0,\ 5)$と直線$y=x$と点$(a,\ a)$がかかれているとき，コンパスと目盛りのない定規を用いて，円$C$を作図する手順を説明せよ．
(2)円$C$の方程式を求めよ．
(3)円$C$の中心の座標を$(s,\ t)$とするとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+t)$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-s+t)$とおく．このとき，$a$の値が変化するときの点$(x,\ y)$の軌跡を座標平面に図示せよ．
(1)点$(0,\ 5)$と直線$y=x$と点$(a,\ a)$がかかれているとき，コンパスと目盛りのない定規を用いて，円$C$を作図する手順を説明せよ．
(2)円$C$の方程式を求めよ．
(3)円$C$の中心の座標を$(s,\ t)$とするとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+t)$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-s+t)$とおく．このとき，$a$の値が変化するときの点$(x,\ y)$の軌跡を座標平面に図示せよ．