次の問いに答えなさい．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} {\left( \frac{x+3}{x-3} \right)}^x$を求めなさい．
(2)座標空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ -1)$をとり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,\ -t,\ 3t)$に対して，直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$が直交するようにとる．

(i) 点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(ii) $t$を変化させるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい．

$a>b>0$をみたす実数$a,\ b$に対し，曲線$y=ax^2$を$C_1$とし，曲線$y=bx^2$を$C_2$とする．$C_1$上の点$(t,\ at^2) (t \neq 0)$での接線を$L_0$とする．$L_0$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$x_1,\ x_2$とする．

(1)$x_1+x_2$と$x_1x_2$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)$C_2$上の点$(x_1,\ b{x_1}^2)$，$(x_2,\ b{x_2}^2)$における接線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とする．$L_1$と$L_2$の交点の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(3)$t$の値が変化するとき，$L_1$と$L_2$の交点の軌跡を求めよ．

$a$を実数の定数として$x$の$2$次関数
\[ f(x)=-3x^2+\left\{1-\int_{-1}^1 f(t) \, dt \right\}x+a \]
を考える．$x$が$3$から$4$まで変化するときの平均変化率が$4a$であるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$の値を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(0,\ 2)$，$\mathrm{Q}(1,\ 0)$をとる．また，$t$を実数とし，放物線$y=(x-t)^2$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$が$\mathrm{P}$を通るときの$t$の値を求めよ．
(2)$C$が直線$\mathrm{PQ}$に接するときの$t$の値と接点の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と$C$の共有点の個数が$t$によりどのように変化するか記述せよ．

$m>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{RP}}$となるように定める．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$m,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x$上を動くとき，対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)$を求めよ．
(3)$(2)$の$f(x)$に対し，$\displaystyle I(m)=\int_0^m f(x) \, dx$とする．$m$を$m>0$の範囲で変化させるとき，$I(m)$を最小にする$m$の値を求めよ．

$a>0$，$b>0$とする．$xy$平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$L^2$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を定数とし，$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき，$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p$の値を$p_0$とする．また，$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする．$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$について，次の各問に答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)実数$a,\ b$が条件$-2 \leqq a \leqq b \leqq 2$を満たして変化するとき，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a,\ b$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点を移動する点$\mathrm{P}$があり，初め頂点$\mathrm{A}$にいる．その後，$1$秒毎に，以下の規則に従ってその位置を変化させる．

(i) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ii) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(iii) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる．

初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ．

$s,\ t$を実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に定点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$と動点$\mathrm{P}(s,\ s+2,\ t)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と垂直であるか$\overrightarrow{\mathrm{0}}$である．次の問いに答えよ．

(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．

平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．ここで，$t$は実数とする．

(1)$t=0$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$に対して，点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか．また，面積比$\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}:\triangle \mathrm{PAB}$を求めなさい．
(2)$t$が実数全体を変化するとき，点$\mathrm{P}$はどのような図形を表すかを式で求めなさい．さらに，点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるための$t$の範囲を求めなさい．