次の各問いに答えよ．

(1)$xy=100$，$x>y$をみたす自然数$x,\ y$の組み合わせは何通りあるか．
(2)次の値を求めよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k^2-3k+5) \]
(3)$k$が定数のとき，$y=x^2-2kx+2k^2+3k-2$は放物線を表す．定数$k$をいろいろ変化させるとき，放物線の頂点はどのような曲線上を動いていくか．
(4)半径が$2t+1$の球の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を$t$で微分した導関数を求めよ．
(5)$\log_{10}x=0.8$，$\log_{10}y=0.3$のとき，$\log_{10}x^2y^3$の値を求めよ．
(6)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$3$回出る確率を求めよ．

曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻$t$における水の体積が$vt$となるように，単位時間あたり$v$の割合で水を注入する．ただし，$v$は正の定数であり，$y$軸の負の方向を鉛直下方とする．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ．
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を，$h$を用いて表せ．ただし，$h$は容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における，水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{array} \right)$とする．点$(x,\ y)$が$xy$平面上を動くとき，行列$A$による変換$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$で移される点$(X,\ Y)$は$XY$平面上の直線$\ell:Y=[ト]X$上を動く．

次に，行列$G=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$が$AGA=A$を満たすとする．点$(X,\ Y)$が$\ell$上を動くとき，その各点で列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$が定まる．このとき，列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$の大きさは$X$の値により変化するが，いずれの場合においても$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のとき最小となる．ただし，$[ニ]$，$[ネ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$k$を実数とし，曲線$C_1:y=1-x^2$と曲線$C_2:y=x^2-2kx+k^2$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$k$のとり得る値の範囲を求めなさい．
(2)$k$の値が変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を図示しなさい．
(3)$(2)$の軌跡と$C_1$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

$2$次関数$f(x)=x^2-2x+2$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最大値を$t$の関数の形で求めよ．
(2)$(1)$で求めた$t$の関数を$p(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ p(t))$の軌跡を描け．
(3)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最小値を$t$の関数の形で求めよ．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数を$q(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ q(t))$の軌跡を描け．

$x$を正の実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$，$\mathrm{P}(x,\ x)$をとり，$\triangle \mathrm{APB}$を考える．$x$の値が変化するとき，$\angle \mathrm{APB}$の最大値を求めよ．

$x$を正の実数とする．座標平面上の3点A$(0,\ 1)$，B$(0,\ 2)$，P$(x,\ x)$をとり，$\triangle$APBを考える．$x$の値が変化するとき，$\angle$APBの最大値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．

半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$\ell$とする．円$C$上の2点A，Bは弦ABが$\ell$と交わらないように動くものとする．$\ell$を軸として弦ABを回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$\ell$は円$C$と同一平面上にあるものとする．

(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．

$a$を正の実数とし，$b$を負の実数とする．$xy$平面上の直線$C_1:y=x$と放物線$C_2:y=ax^2+bx$を考える．$C_1$と$C_2$は2点で交わっており，$C_1$と$C_2$の囲む図形の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a$を$S$と$b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を$(p_1,\ q_1) ,\ (p_2,\ q_2) \ (\text{ここで}p_1<p_2)$とし，$L=p_2-p_1$とおく．$p_1 \leqq x \leqq p_2$における$ax^2+bx$の最小値の絶対値を$T$とする．$S$の値が一定になるように$a$と$b$を変化させたとき，$\displaystyle \frac{T-L}{L^3}$の最小値を$S$を用いて表せ．