関数$f(x)$を次のとおりに定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$，$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする．このとき，$F(0)$を求めよ．
(3)関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4)関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．

関数$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-2x^2+2x & (x \geqq 0) \\
x^2+2x & (x<0)
\end{array} \right.$に対して，関数$F(x)$を$\displaystyle F(x)=\int_{-3}^x f(t) \, dt$と定め，曲線$y=F(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$F(x)$の増減を調べて，$-3 \leqq x \leqq 2$の範囲で$y=F(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$C$上の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の傾きが等しいとし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$b$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$b<0$とする．
(3)曲線$C$上の$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$における$C$の接線の傾きが等しいとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$a>b>c$であるとする．このとき，$a$のとりうる値の範囲を求め，さらに$a-b=b-c$であるときの$a$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2 \sin x} \ (0<x<\pi)$について以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$0<x<\pi$のとき，
\[ \frac{d}{dx}\{\log (1-\cos x)-\log (1+\cos x)\} \]
を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}f(x) \, dx$を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2}+\sin x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x) \, dx$を求めよ．

関数$y=xe^{-2x}$を考える．

(1)$y^\prime,\ y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)この関数の$0 \leqq x \leqq 2$における増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

$y^2=(x-2)^2(x+1)$で決まる曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=(x-2) \sqrt{x+1}$の増減を調べ，関数のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．