「増減」について
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国立 山形大学 2014年 第1問$-a<x<a$で定義された曲線$C:y=x \sqrt{a^2-x^2}$がある．ただし$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第4問関数$f(x)=e^{\sqrt{2} \sin x}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なく用いて良い．
(2)異なる自然数$m,\ n$の組で
\[ m^n=n^m \]
を満たすものをすべて求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$と直線$\displaystyle y=\frac{\log 2}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なく用いて良い．
(2)異なる自然数$m,\ n$の組で
\[ m^n=n^m \]
を満たすものをすべて求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$と直線$\displaystyle y=\frac{\log 2}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 茨城大学 2014年 第1問区間$0<x<\pi$で関数$y=f(x)=\cos (\sqrt{2}x)$を考え，そのグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \cos (\sqrt{2} \theta))$における$C$の法線を$\ell$，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$g(\theta)$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通りかつ$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の増減の様子を調べ，$C$の概形をかけ．さらに，$f(x)$の最小値を与える$x$の値，および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(5)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ．
(1)$f(x)$の増減の様子を調べ，$C$の概形をかけ．さらに，$f(x)$の最小値を与える$x$の値，および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(5)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第3問曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第3問曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第3問曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
私立 龍谷大学 2014年 第4問関数$f(x)=(x^2-2)^2$について考える．
(1)$f(x)$の増減と極値を調べ，それをもとに$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．
(2)$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
(1)$f(x)$の増減と極値を調べ，それをもとに$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．
(2)$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
私立 北里大学 2014年 第2問関数$f(x)=x^3-5x^2+3x+9$について，次の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で，点$(3,\ -6)$を通るものの方程式を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で，点$(3,\ -6)$を通るものの方程式を求めよ．
私立 南山大学 2014年 第2問$a>0$とし，関数$f(x)=x^3-3ax^2+2a^3+2a+1$を考える．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$の解を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x \geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$(3)$の$m$の最大値を求めよ．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$の解を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x \geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$(3)$の$m$の最大値を求めよ．