関数$y=(x-2)e^x$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x),\ g(x),\ h(x),\ k(x)$を次のように定める．

$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$

$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$

$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$


(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき，$k(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．

$a$は$a \leqq 1$を満たす実数の定数とする．$x \geqq 1-a$で連続な関数$f(x)$が
\[ \int_{1-a}^x f(t)(x-t) \, dt=24(x+a)^2 \log (x+a)-x^4-24x \quad (x \geqq 1-a) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値と$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 1-a$で$f(x)$の増減をしらべ，極値を求めよ．