$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)=|x-2|\sqrt{x+1} (x \geqq -1)$として，以下の問に答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$および2次導関数$f^{\, \prime\prime}(x)$を求めよ．ただし，$x=-1,\ 2$を除くものとする．
(2)$f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．

$\displaystyle f(x) =\frac{\log x}{x},\ g(x) = \frac{2 \log x}{x^2} \ (x > 0)$とする．以下の問に答えよ．ただし，自然
対数の底$e$について，$e=2.718 \cdots$であること，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることを証明なしで用いてよい．

(1)2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間$x>0$において，関数$y = f(x)$と$y = g(x)$の増減，極値を調べ，2曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間$1 \leqq x \leqq e$において，2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$，および直線$x = e$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$x+x^2 \log x > 0$が成り立つことを示せ．
(2)関数$y = -x^2 \log x$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2-1}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$x^3-kx^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．

定数$a$，関数$f(x)$，および数列$\{x_n\}$を次のように定める．
\begin{eqnarray}
& & 1<a<2,\quad f(x)=\frac{1}{2}(3x^2-x^3) \nonumber \\
& & x_1=a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}

(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)すべての自然数$n$に対して$1<x_n<2$を示せ．
(3)すべての自然数$n$に対して$x_{n+1}>x_n$を示せ．
(4)次の不等式を満たす$n$に無関係な定数$b \ (0<b<1)$があることを示せ．
\[ 2-x_{n+1} \leqq b(2-x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)数列$\{x_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x\sqrt{x}} \ (x>1)$に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底$e$の値は$2<e<3$であることを用いてよい．

(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点P$(t,\ f(t))$における法線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pから$x$軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線$\ell$と$x$軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数とし，$f(x)=3x^4+ax^3+bx^2+cx+d$とする．曲線$y=f(x)$が変曲点$(1,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{1}{3},\ -\frac{16}{27} \right)$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．

$x$が$\displaystyle 1 \leqq x \leqq \frac{7}{2}$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2570_2010_1}{10}


(1)図のような，底面の半径が$\sqrt{x}$，高さが$4-x$の直円錐の側面積$S$ \\
を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{S}{\pi} \right)^2$を$f(x)$とするとき，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値， \\
最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

$n$を自然数とし，$x$を変数とする関数
\[ f_n(x)=(nx+n+1)e^x,\quad g_n(x)=(nx+n-1)e^{-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$g_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x$軸と$y$軸および曲線$y=f_n(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$x$軸と$y$軸および曲線$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積$T_n$を求めよ．ただし，$n \geqq 2$とする．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{S_n}$を求めよ．