$x$の関数$f(x)$と$F(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{x^2+1},\quad F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$|x|<1,\ |y|<1$を満たすとき
\[ F \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) =F(x)+F(y) \]
が成り立つことを示せ．
(4)$F(2-\sqrt{3})$の値を求めよ．

$k$を正の定数とする．関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{(x+1)^2} \quad\,\, (x>0) \nonumber \\
& & g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2} \qquad\qquad (x>0) \nonumber
\end{eqnarray}
について，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$の増減を調べよ．
(2)$f(x)$が極値をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=a$で極値をとるとき，極値$f(a)$を$a$だけの式で表せ．
(4)$k$が(2)で求めた範囲にあるとき，$f(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{1}{8}$より小さいことを示せ．

$a,\ b$を正の実数とし，関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=3x-2a \sin x \cos x,\ g(x)=x^2+b \cos^2 x -b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a=3$のとき，$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a=1$のとき，$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(4)$x \geqq 0$において$g(x) \geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．

関数$f(x)=x+\cos (2x)$がある．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描け．

関数$f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(e^x+e^{-x})$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)=e^x-e^{-x}$とおく．関数$g(x)$は単調増加であることを示せ．
(2)$u=g(x)$とおくとき，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を$u$を用いて表せ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．
(3)極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ．

関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．
(3)極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ．

$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．