「増減」について
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公立 名古屋市立大学 2012年 第4問曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．
(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
公立 福島県立医科大学 2012年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．
(i) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．
(2)$0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．
(i) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ii) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．
(1)$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．
(i) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．
(2)$0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．
(i) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ii) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．
公立 北九州市立大学 2012年 第3問関数$\displaystyle y=f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$について，以下の問いに答えよ．
(1)第$1$次導関数$y^\prime$を求めよ．
(2)第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(1)第$1$次導関数$y^\prime$を求めよ．
(2)第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
国立 横浜国立大学 2011年 第4問$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
国立 富山大学 2011年 第1問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
国立 奈良女子大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=x \log x \ \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq 1 \right)$の増減，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．ただし対数は自然対数とする．また自然対数の底$e$は，$2<e<3$をみたす．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 x \log x \, dx$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=x \log x \ \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq 1 \right)$の増減，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．ただし対数は自然対数とする．また自然対数の底$e$は，$2<e<3$をみたす．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 x \log x \, dx$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第6問$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．