「増減」について
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国立 鹿児島大学 2012年 第3問$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
(1)関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
(1)関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2012年 第4問関数$f(x)=x^3-3x^2+2$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．
(2)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最大値$M$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．
(3)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．
(2)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最大値$M$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．
(3)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．
国立 茨城大学 2012年 第3問$a$を実数の定数として，$f(x)=x(x-a)^2$とおく．以下の各問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a \neq 0$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．さらに，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{3}$となる$a$の値をすべて求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a \neq 0$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．さらに，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{3}$となる$a$の値をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第4問$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
国立 長崎大学 2012年 第5問関数$f(x)=xe^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x^2}=0,\ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}=0$を用いてよい．
(2)$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$t>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$S(t)$について，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}S(t)$を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x^2}=0,\ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}=0$を用いてよい．
(2)$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$t>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$S(t)$について，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}S(t)$を求めよ．
国立 宮城教育大学 2012年 第4問関数$f(x)=2 \sin x-x \cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．
私立 広島修道大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+3y=14 \\
\log_{\sqrt{2}} (x-y)=2
\end{array} \right. \]
を解け．
(3)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が$f(3)=16$，$f^\prime(2)=f^\prime(-2)=9$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．
(1)方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+3y=14 \\
\log_{\sqrt{2}} (x-y)=2
\end{array} \right. \]
を解け．
(3)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が$f(3)=16$，$f^\prime(2)=f^\prime(-2)=9$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．
公立 広島市立大学 2012年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2}$について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の増減，極値，および$y=f(x)$のグラフの凹凸，変曲点を調べよ．さらに，このグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1}f(t) \, dt$とおく．$F(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)関数$f(x)$の増減，極値，および$y=f(x)$のグラフの凹凸，変曲点を調べよ．さらに，このグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1}f(t) \, dt$とおく．$F(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．