$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$の増減およびグラフの凹凸を調べよ．また，$y$の最大値およびそのときの$x$の値，$y$の最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$と$y=-x+2+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$によって囲まれた図形$D$を座標平面上に描け．なお，$D$の境界が座標軸との共有点をもつならば，その座標も記入せよ．
(3)上の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)=x(\log x)^2 (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

$\log$は自然対数とし，関数$f(x)$を$f(x)=\log (2+\cos x) (-\pi \leqq x \leqq \pi)$とおく．次の問に答えよ．

(1)関数$y=2+\cos x$と$y=\log x$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

関数$f(x)$を$f(x)=(2x-1)^2 e^{\frac{1}{x}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)関数$y=e^{\frac{1}{x}}$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)$を調べよ．
(4)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

関数$f(x)$を$f(x)=(x-1)e^{-(x-1)^2}$とおく．次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値と，$f^{\prime\prime}(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$は用いてよい．

$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=-\frac{x^3}{3}+ax$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{3x+a}{x^2+1}$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$が$x=3$で極値をとるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$を$(2)$で求めた値とするとき，$f(x)$の増減を調べて，極値をすべて求めよ．

関数$y=e^{2x}-2e^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，そのグラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定数$k$について，方程式$f(x)-k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．