関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．

関数$f(x)=x+\cos (2x)$がある．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描け．

関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0$を用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．方程式$\log x=ax^2$の異なる実数解の個数を調べよ．

$y=f(x)=(x+2)e^{-x}$を曲線$A$，$y=ax+2a$を直線$B$とする（ただし，$a$は$a \neq 0$の実数）．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表を示せ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数まで求め，変曲点も増減表に示せ．
(3)曲線$A$が直線$B$に接するとき，$a$の値を求めよ．
(4)曲線$A$と直線$B$が接するとき，曲線$A$と直線$B$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の関数について問いに答えなさい．
\[ y=-2x^3-3x^2+12x-5 \]

(1)この関数の導関数$y^\prime$を求めなさい．
(2)導関数$y^\prime$が$0$になる点を求めなさい．
(3)関数$y$の極大値と極小値を求めなさい．
(4)関数$y$の増減表を書きなさい．