$3$次関数$f(x)=-x^3+ax^2$に対し，曲線$y=f(x)$と直線$y=2x-2$が接しているとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$の$x \geqq 0$の部分と，$x$軸および直線$x=1$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=\cos^3 x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$，$(-2,\ 0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数とする．次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．

$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)=x(\log x)^2 (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．

(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．

(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．

(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．

\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．

関数$y=e^{2x}-2e^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，そのグラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．

関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．

(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$

関数$\displaystyle f(x)=\cos \frac{x^3-2x^2-4x+5}{3}$の$-1 \leqq x \leqq 3$における増減表を作り，最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．