ふたつの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．

自然数$n,\ k$について，$xy$平面上で$0 \leqq y \leqq x$と$y \leqq 2n+k-x$で定まる領域を$C_k$とする．ある整数$a,\ b$に対して，$(a,\ b)$，$(a+k,\ b)$，$(a,\ b+k)$，$(a+k,\ b+k)$を頂点にもつ正方形を$1$辺が$k$の格子点の正方形と呼ぶ事にする．$C_k$に入る格子点の正方形を考える（$C_k$の境界も含める）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=4$のとき，$C_k$内に$1$辺が$k$の格子点の正方形が存在するための，最大の$k$をもとめよ．
(2)$1$辺が$k$の格子点の正方形が，$C_k$内に存在するための$k$の条件を，$n$であらわせ．
(3)$C_k$内にある$1$辺が$k$の格子点の正方形の総数を$a_k$とするとき，$a_k$を$n$と$k$の式であらわせ．
(4)$a_1+a_2+\cdots +a_n$をもとめよ．

実数$x$に対して，$n \leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と書く． \\
以下の問に答えなさい．
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(1)$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域を図示しなさい．
補足：$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域とは，$[x]=1$ \\
および$[y]=1$を同時に満たす点$(x,\ y)$の全体のことである．
(2)等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．

曲線$C : y = -x^2-1$を考える．

(1)$t$が実数全体を動くとき，曲線$C$上の点$(t,\ -t^2-1)$を頂点とする放物線
\[ y =\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1 \]
が通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$D$を(1)で求めた領域の境界とする．$D$が$x$軸の正の部分と交わる点を$(a,\ 0)$とし，$x = a$での$C$の接線を$\ell$とする．$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ b$は実数で，$a>1$とする．$t$の関数
\[ f(t)=2t^3-3(a+1)t^2+6at+b \]
について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(t)$の極値を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$a$の値を$x$座標，$b$の値を$y$座標とする$xy$平面上の点P$(a,\ b)$を考える．このとき，3次方程式$f(t)=0$が相異なる3つの実数解をもつような点P$(a,\ b)$の存在する領域$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(3)$D$および$D$の境界からなる領域を$E$とする．領域$E$のうち，
\[ y \leqq -x^2+4x-11 \]
を満たす部分の面積を求めよ．

座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．

座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．

$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$において，直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，曲線$\displaystyle y=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界をすべて含む．このとき，次の各問に答えよ．

(1)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell:y=ax+b (a>0)$と図形$D$が共有点をもつとき，$a,\ b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a$-$b$平面上に図示せよ．
(3)図形$D$の面積$S$が，直線$y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．